(a)如果$X$是空集，并且$f:X\to\mathbb{R}$是函数（即$f$是空函数),那么
$$\sum_{x\in X}f(x)=0$$
证明：空函数在《陶哲轩实分析》的第40页提到过.我们要回到定义上去.定义说：当$n\prec m$时，$\displaystyle \sum_{i=m}^na_i=0(m\leq i\leq n)$.由于$X$是空集，所以存在从$\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq 0\}$到$X$的双射$h$(根据双射的定义，易知存在从空集到空集的双射).所以$\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^0f(h(i))=0$(根据陶哲轩实分析命题7.1.8).
(b)如果$X=\{x_0\}$,并且$f:X\to \mathbb{R}$是函数.那么我们有
$$\sum_{x\in X}f(x)=f(x_0)$$
证明：存在$\{1\leq i\leq 1\}$到$X$的双射$h$.所以$\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^1f(h(i))=f(h(1))=f(x_0)$
(c)(代入法1)如果$X$是有限集合，$f:X\to \mathbb{R}$是函数，并且$g:Y\to X$是双射，那么$$\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{y\in Y}f(g(y))$$
证明：假设$X$含有$n$个元素，则存在$\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}$到$X$的双射$h$.易得$g^{-1}\circ h$是从$\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}$到$Y$的双射.$\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^nf(h(i))$.$\displaystyle\sum_{y\in Y}f(g(y))=\sum_{i=1}^nf(g(g^{-1}(h(i))))$ .易得$g\circ g^{-1}\circ h$是从$\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}$到$X$的双射.所以$\displaystyle\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{y\in Y}f(g(y))$.
注:最开始的时候，我怀疑代入法1到底有没有必要存在，后来想明白了，代入法1是有必要存在的，代入法1表明了有限级数求和可以任意交换次序。那难道【有限集合求和定义的合理性】没有体现这一点吗？【有限集合求和定义的合理性】确实没表明这一点.（虽然已经十分接近了）
(d)(代入法2)设$n\leq m$是整数，并设$X$是集合
$$X:\{i\in\mathbb{Z}:n\leq i\leq m\}$$
如果$a_i$是实数，对应于每个整数$i\in X$.那么
$$\sum_{i=n}^m
a_i=\sum_{i\in X}a_i$$
证明：设$h$是从$Y=\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq m-n+1\}$到$X=\{i\in\mathbb{N}:n\leq i\leq m\}$的双射.根据代入法1，$\displaystyle \sum_{i\in X}a_i=\sum_{i\in Y}a_{h(i)}$.所以$\displaystyle \sum_{i\in X}a_i=\sum_n^ma_i$.