证明:若$a_1\neq 0$,则
\begin{equation}\label{eq:2367}
\frac{p_n}{p_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]
\end{equation}和
\begin{equation}\label{eq:9876}
\frac{q_n}{q_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]
\end{equation}
证明:我们先证明\ref{eq:2367}.真是神奇，竟然都倒过来了.由递推公式，当$n\geq 3$时，
\begin{equation}
p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{p_n}{p_{n-1}}=a_n+\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}
\end{equation}
设$\frac{p_n}{p_{n-1}}=k_n(n\geq 2)$,因此
\begin{equation}
k_n=a_n+\frac{1}{k_{n-1}}
\end{equation}
这样就证明了$k_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]$了(为什么?).
下面来证明\ref{eq:9876}.根据递推公式，当$n\geq 3$时，
\begin{equation}
q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{q_n}{q_{n-1}}=a_n+\frac{q_{n-2}}{q_{n-1}}
\end{equation}
设$\frac{q_n}{q_{n-1}}=t_n(n\geq 2)$,因此
\begin{equation}
t_n=a_n+\frac{1}{t_{n-1}}
\end{equation}
因此也有$t_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]$.