用带余除法可以解决一切部分分式的题目

今晚无眠,用带余除法做了一道复杂的部分分式的题目.

部分分式分解$$1+\frac{x}{(1+x^2)(2+x^2)(3+x^2)}$$

解：首先，$(1+x^2)(2+x^2)$与$3+x^2$互素，因此可以化为

\begin{equation}
1+x[\frac{P}{(1+x^2)(2+x^2)}+\frac{Q}{3+x^2}]
\end{equation}

于是
\begin{equation}
P(3+x^2)+Q(1+x^2)(2+x^2)=1
\end{equation}

这让人想到Bezout定理，用辗转相除法:

\begin{equation}
(1+x^2)(2+x^2)=x^4+3x^2+2=x^2(x^2+3)+2
\end{equation}.
于是，可以让
\begin{equation}
Q=\frac{1}{2},P=\frac{-1}{2}x^2
\end{equation}
所以可以分解为
\begin{equation}
1+x[\frac{\frac{-1}{2}x^2}{(1+x^2)(2+x^2)}+\frac{\frac{1}{2}}{3+x^2}]
\end{equation}

由于$(1+x^2)$和$(2+x^2)$也是互素的，因此我们把

\begin{equation}
\frac{1}{(1+x^2)(2+x^2)}
\end{equation}分解为

\begin{equation}
\frac{M}{1+x^2}+\frac{N}{2+x^2}
\end{equation}

于是$M(2+x^2)+N(1+x^2)=1$.再次用辗转相除法，由于
\begin{equation}
2+x^2=(1+x^2)+1
\end{equation}因此可以让
\begin{equation}
M=1,N=-1
\end{equation}
所以可以分解为
\begin{equation}
1+x[\frac{-1}{2}x^2[\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{2+x^2}]+\frac{1}{2}\frac{1}{3+x^2}]
\end{equation}
把它化为
\begin{equation}
1-\frac{x^3}{2(1+x^2)}+\frac{x^3}{2(2+x^2)}+\frac{x}{6+2x^2}
\end{equation}
下面我们继续分解
\begin{equation}
\frac{x^3}{1+x^2}
\end{equation}
利用带余除法，
\begin{equation}
x^3=x(x^2+1)-x
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{x^2+1}
\end{equation}

下面我们再分解
\begin{equation}
\frac{x^3}{2+x^2}
\end{equation}
利用带余除法，
\begin{equation}
x^3=x(x^2+2)-2x
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{x^3}{2+x^2}=x-\frac{2x}{x^2+2}
\end{equation}

于是可以分解为
\begin{equation}
1-\frac{1}{2}(x-\frac{x}{x^2+1})+\frac{1}{2}(x-\frac{2x}{x^2+2})+\frac{x}{6+2x^2}
\end{equation}
把它整理一下，即为
\begin{equation}
1+\frac{x}{2(x^2+1)}-\frac{x}{x^2+2}+\frac{x}{6+2x^2}
\end{equation}

这是完全机械的.