\begin{equation}m^*(\bigcup_{j\in \mathbb{N}^+}E_j)=\lim_{N\to\infty}m^*(\bigcup_{j=1}^{N}E_j)\end{equation}
证明:由于$\forall N\in\mathbb{N}^+$,$\bigcup_{j=1}^N E_j\subset \bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j$,根据勒贝格外测度的单调性，我们有
$$m^*(\bigcup_{j=1}^N E_j)\leq m^*(\bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j)$$
取极限，可得
$$\lim_{N\to\infty}m^*(\bigcup_{j=1}^N E_j)\leq m^*(\bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j)$$
现在我们证明，
$$m^*(\bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j)\leq \lim_{N\to\infty}m^*(\bigcup_{j=1}^NE_j)$$
这是因为对于每个$E_j$,我们都用一个开盒子列$H_j$将其覆盖.根据外测度的单调性，$m^*(E_j)\leq m^*(H_j)$.现在我们证明，对于任意给定的正实数$\varepsilon_j$,都存在$H_j$使得
$$m^*(H_j)\leq m^*(E_j)+\varepsilon_j$$
证明是很简单的.因为显然，对于任意给定的正实数$\delta$,都存在$m^*(H_i)\in(m^*(E_i),m^*(E_i)+\delta)$.（在脑袋里好好地使用一下直观是有帮助的，由于空间的连续性，“断层”是不会发生的）.
根据外测度的次可数可加性,
$$m^*(\bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j)\leq \sum_{j\in\mathbb{N}^+}m^*(E_j)\leq \sum_{j\in\mathbb{N}^+}m^*(H_j)\leq \sum_{j\in\mathbb{N}^+}m^*(E_j)+\sum_{j\in\mathbb{N}^+}\varepsilon_j$$
我们可以控制$\varepsilon_i$,使得$\sum_{j\in\mathbb{N}^+}\varepsilon_j$小于任意一个给定的正实数.因此
$$m^*(\bigcup_{j\in\mathbb{N}^+}E_j)\leq \sum_{j\in\mathbb{N}^+}m^*(E_j)=\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^Nm^*(E_j)$$
综上所述，$$m^*(\bigcup_{j\in \mathbb{N}^+}E_j)=\lim_{N\to\infty}\bigcup_{j=1}^{N}E_j$$