设 $(X,d)$ 是紧致度量空间,并设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是连续函数,那么 $f$ 是有界的.更进一步, $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 达到它的最大值,也在某点 $x_{\min}$ 达到它的最小值.
证明:我先证明 $f$ 在 $X$ 上有界.根据
陶哲轩实分析习题 12.5.10 ,$X$ 是全有界的,意即对于任意给定的正实数 $\varepsilon$,都存在一个有限的开球族覆盖 $X$,且该开球族中的每个开球的半径都为 $\varepsilon$.我们只用证明 $f$ 在每个开球上都有界即可(为什么?)这根据 $f$ 的连续性是很容易证明的.
下面我来证明 $f$ 在 $X$ 上能达到最大值(最小值类似,不予详述).由于 $f$ 在 $X$ 上有界,因此 $f$ 在 $X$ 上有上确界．下证 $f$ 在 $X$ 上必定能达到这个上确界.假如 $f$ 在 $X$ 上不能达到这个上确界,则意味着 $f$ 在 $X$ 上存在着一个序列
$$f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n),\cdots$$
该序列的极限是 $f$ 在 $X$ 上的上确界 $a$.由于 $X$ 的紧致性,因此序列
$$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$$
在 $X$ 上有收敛子列收敛到 $X$ 上的一个元素 $p$,下面证明 $f(p)=a$.这是容易的(具体怎么证留给读者).
可见与假设矛盾,因此 $f$ 在 $X$ 上能达到上确界,该上确界即 $f$ 在 $X$ 上的最大值.$\Box$