引理1:这种方法是我睡觉时想到的,借鉴的是部分分式的方法:已知分数$\frac{a}{b}$,其中$b$是正自然数.且$b$可以被分解成两个正自然数$p_1,p_2$的积,$p_1,p_2$互素.则存在整数$m,n$,使得\begin{equation}\label{eq:1111111}\frac{a}{b}=\frac{m}{p_1}+\frac{n}{p_2}\end{equation}
证明：即证$$\frac{a}{b}=\frac{mp_2+np_1}{p_1p_2}$$即证$mp_2+np_1=a$.这是容易的，因为$p_1,p_2$互素,根据Bezout定理,存在整数$c,d$,使得$p_1c+p_2d=1$.我们只要让$m=ad,n=ac$即可.
注:而且我们容易得到分解是唯一的(为什么?).
定理1:对于分数$\frac{a}{b}$,其中$b$是不为1的正自然数.根据算术基本定理,$b$可以进行标准分解成素数的乘积$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}$.则根据引理1,配合带余除法,易得$\frac{a}{b}$可以写成
$$\mbox{一个整数}+\frac{m_1}{p_1^{\alpha_1}}+\frac{m_2}{p_2^{\alpha_2}}+\cdots+\frac{m_n}{p_n^{\alpha_n}}$$的形式,其中$\forall 1\leq i\leq n,0\leq m_i<p_i^{\alpha_i}$.而且容易得到分解是唯一的.而且容易得出,当$\frac{a}{b}$为既约分数时,$\forall 1\leq i\leq n$,$m_i\neq 0$.
注:令人遗憾的是,我发现这个结果早在高斯的《算术探索》里就已经提到(今天刚从圆通快递收到了高斯的书).