有理数的小数表示若无限,则必为无限循环的

有理数的小数表示如果是无限的，则是无限循环的.

证明:对于任意给定的正有理数$\frac{a}{b},a,b\in\mathbf{N}^{+}$.我们考察小学中的长除法的本质.比如，7除以12.因为$7<12$,所以我们先把7乘以10,变成70，然后70除以12.
\begin{equation}
70=5\times 12+10
\end{equation}
因为10小于12,所以我们把10乘以10，变成100，然后100除以12.
\begin{equation}
100=8\times 12+4
\end{equation}
因为4小于12，所以我们把4乘以10，变成40，然后40除以12.
\begin{equation}
40=3\times 12+4
\end{equation}
又是4.所以以后都循环了.

我们再考察一个特例.5除以70.因为$5<70$,所以把5乘以100，变成500,然后500除以70:
\begin{equation}
500=7\times 70+10
\end{equation}
$r_1=10$小于70，因此把10乘以10，变成100，然后把100除以70:
\begin{equation}
100=1\times 70 +30
\end{equation}
$r_2=30$小于70，因此把30乘以10，得到300，然后300除以70，可得
\begin{equation}
300=4\times 70+20
\end{equation}
$r_3=20$小于70，因此把20乘以10，得到200，然后200除以70，可得
\begin{equation}
200=2\times 70+60
\end{equation}
$r_4=60$小于70，因此把60乘以10，得到600，然后600除以70，可得
\begin{equation}
600=8\times 70+40
\end{equation}
$r_5=40$小于70，因此把40乘以10，得到400，然后400除以70，可得
\begin{equation}
400=5\times 70+50
\end{equation}
$r_6=50$小于70，因此把50乘以10，得到500，然后500除以70，可得
\begin{equation}
500=7\times 70+10
\end{equation}
$r_7=10=r_1$，因此接下来的所有步骤都是循环的.从这些特例里，我们可以窥见一般的端倪.我们看5除以70这个例子.我们发现无限数列$r_1,r_2,r_3,r_4,\cdots$中的每一项都是非负整数，且小于70.这是带余除法所决定了的.因此该无限数列必为循环数列(为什么?).这个特例可以推广至一般，这就解释了有理数可以表现为无限循环小数这个现象.