下面用同余的语言来阐述欧几里德算法.对于整数$a$和正整数$b$,我们知道
\begin{equation}
\label{eq:11.16}
a=q_1b+r_1(q_1\geq 0,0\leq r_1<b)
\end{equation}
其中$q_1,r_1$是整数，且是唯一的.我们知道，
\begin{equation}
a\equiv r_1 \mod b
\end{equation}
当$r_1>0$时，我们继续，
\begin{equation}
b=r_1q_2+r_2
\end{equation}
其中$q_2,r_2$是唯一的一对整数，且$0\leq r_{2}<r_1$.即
\begin{equation}
b\equiv r_2\mod r_1
\end{equation}
当$r_2>0$时，我们继续.$$ \vdots $$一直这样下去，我们就得到一串同余式:
\begin{align*}
a&\equiv r_1\mod b\\
b&\equiv r_2\mod r_1\\
\vdots\\
r_k&\equiv r_{k+2}\mod r_{k+1}\\
\vdots
\end{align*}
这就是用同余的语言来阐述欧几里德算法了，唉，悲哀地发现，其实用同余的语言阐述没什么意义……就当玩吧.