设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$
\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,y)\geq 0$,因此集合 $\{d(x_0,y):y\in E\}$有下确界.下面证明存在 $x\in E$,使得 $d(x_0,x)$ 就是这个下确界.否 则,会有序列 $$ d(x_0,x_1),d(x_0,x_2),d(x_0,x_3),\cdots,d(x_0,x_n),\cdots $$ 其中 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots$ 都属于 $E$.该序列的每一项都大于 $\inf\{d(x_0,y):y\in E\}$,且该序列的极限是$\inf\{d(x_0,y):y\in E\}$.则根据度量空间里的绝对值不等式,易得序列 $$ d(x_1,x_2),d(x_2,x_3),\cdots,d(x_n,x_{n+1}),\cdots $$ 的极限是0.可见序列 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{n},\cdots$ 是柯西列,由于 $E$ 的紧致性,该柯西列收敛到 $E$ 中的一个元素,设该元素是 $a$.易得 $d(x_0,a)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\}$(为什么?). \end{proof}