有人在百度贴吧问了这个问题,内容如下:
哪位高人帮我解释下(1)和（2）的含义，以及（3）成立的原因.（3）出自高等教育出版社程其襄实变函数13页.
我的回答:我们该怎么来看集合
$$igcap_{n=1}^{infty}igcup_{m=n}^{infty}A_m.$$
呢?让我来告诉大家吧.先把 $n$ 一一给定,我们显然知道 $forall n=1,2,cdots,k,cdots$,
$$
igcup_{m=n}^{infty}A_m
$$
的意思.于是我们就得到了一列集合
$$
igcup_{m=1}^{infty}A_m,igcup_{m=2}^{infty}A_m,cdots,igcup_{m=k}^{infty}A_m,cdots
$$
然后把这列集合全都交起来,就得到了
$$igcap_{n=1}^{infty}igcup_{m=n}^{infty}A_m.$$
那么,我们该怎么来看集合
$$igcup_{n=1}^{infty}igcap_{m=n}^{infty}A_m.$$
呢?同样,先把 $n$ 一一给定,我们显然知道 $forall n=1,2,cdots,k,cdots$,
$$
igcap_{m=n}^{infty}A_m
$$
的意思.于是我们就得到了一列集合
$$
igcap_{m=1}^{infty}A_m,igcap_{m=2}^{infty}A_m,cdots,igcap_{m=k}^{infty}A_m,cdots
$$
然后把这列集合全都并起来,就得到了
$$igcup_{n=1}^{infty}igcap_{m=n}^{infty}A_m.$$
至于 (3) 式,我想你的提问有问题吧,应该写成
$$
forall ninmathbf{N}^{+},xin igcup_{m=n}^{infty}A_mRightarrow
xin igcap_{n=1}^{infty}igcup_{m=n}^{infty}A_m.
$$
至于为什么 (3) 成立,由上面的解释我们很容易知道.