习题1.4.7:已知向量 $mathbf{a,b}$ 不共线,问 $mathbf{c=2a-b}$ 与 $mathbf{d=3a-2b}$ 是否线性相关?
证明:线性无关.假如 $mathbf{c},mathbf{d}$ 线性相关,则存在不全为零的实数 $lambda,xi$,使得
$$
lambdamathbf{c}+xi mathbf{d}=mathbf{0}.
$$
也就是说,
$$
lambda(mathbf{2a-b})+xi(mathbf{3a-2b})=mathbf{0}.
$$
即
$$
(2lambda+3xi)mathbf{a}+(-lambda-2xi)mathbf{b}=mathbf{0}.
$$
由于 $mathbf{a,b}$ 线性无关,因此
$$
egin{cases}
2lambda+3xi=0\
-lambda-2xi=0\
end{cases}
$$
解得 $lambda,xi$ 都为 0.这与 $lambda,xi$ 不全为零矛盾.因此假设错误,即$mathbf{c,d}$ 线性无关.
习题 1.4.8:证明三个向量 $mathbf{a=-e_1+3e_2+2e_3,b=4e_1-6e_2+2e_3,c=-3e_1+12e_2+11e_3}$ 共面,其中 $mathbf{a}$ 能否被 $mathbf{b,c}$ 线性表示?如能,写出线性表示关系式.
证明:也就是证明向量 $mathbf{a,b,c}$ 线性相关.设
$$
x_1mathbf{a}+x_2mathbf{b}+x_3mathbf{c}=mathbf{0}.
$$
也就是设
$$
x_1 egin{pmatrix}
-1\
3\
2\
end{pmatrix}+x_2 egin{pmatrix}
4\
-6\
2\
end{pmatrix}+x_3 egin{pmatrix}
-3\
12\
11\
end{pmatrix}=egin{pmatrix}
0\
0\
0\
end{pmatrix}.
$$
也就是设
$$
egin{cases}
-x_1+4x_2-3x_3=0\
3x_1-6x_2+12x_3=0\
2x_1+2x_2+11x_3=0\
end{cases}.
$$
行列式
$$
egin{vmatrix}
-1&4&-3\
3&-6&12\
2&2&11
end{vmatrix}=0.
$$
因此 $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ 不是唯一解,因此向量 $mathbf{a,b,c}$ 线性相关.由于 $mathbf{b,c}$ 线性无关,因此 $mathbf{a}$ 能被 $mathbf{b,c}$ 线性表示.易得
$$
mathbf{a}=frac{-1}{10}mathbf{b}+frac{1}{5}mathbf{c}.
$$
习题1.4.9:证明三个向量 $lambdamathbf{a}-mumathbf{b},mumathbf{b}-vmathbf{c},vmathbf{c}-lambdamathbf{a}$ 共面.
证明:也就是证明三个向量线性相关.首先,如果向量 $mathbf{a,b,c}$ 线性相关,则很容易证明 $lambdamathbf{a}-mumathbf{b},mumathbf{b}-vmathbf{c},vmathbf{c}-lambdamathbf{a}$ 线性相关.当 $lambda,mu,v$ 三者中存在0的时候,易得 $lambdamathbf{a}-mumathbf{b},mumathbf{b}-vmathbf{c},vmathbf{c}-lambdamathbf{a}$ 线性相关.因此我们设 $mathbf{a,b,c}$ 线性无关的时候,且 $lambda,mu,v$ 都不为0.设
$$
x_1(lambda mathbf{a}-mumathbf{b})+x_2(mumathbf{b}-vmathbf{c})+x_3(vmathbf{c}-lambdamathbf{a})=mathbf{0}.
$$
即
$$
(lambda x_1-lambda x_3)mathbf{a}+(mu x_2-mu x_1)mathbf{b}+(v x_3-vx_2)mathbf{c}=mathbf{0}.
$$
于是
$$
egin{cases}
lambda (x_1-x_3)=0\
mu(x_2-x_1)=0\
v(x_3-x_2)=0\
end{cases}.
$$
于是 $x_1=x_2=x_3$.可得 $lambdamathbf{a}-mumathbf{b},mumathbf{b}-vmathbf{c},vmathbf{c}-lambdamathbf{a}$ 线性相关.综上所述,无论如何,$lambdamathbf{a}-mumathbf{b},mumathbf{b}-vmathbf{c},vmathbf{c}-lambdamathbf{a}$ 都线性相关.