介绍一下奇异值分解来压缩图像。今年的上半年中的一篇博客贴了一篇用奇异值分解处理pca问题的程序，当时用的是图像序列，是把图像序列中的不同部分分离开来。这里是用的不是图像序列了，只是单单的一幅图像，所以直接就对图像矩阵进行svd了。
吴军的《数学之美》里其实已经介绍过用svd进行大数据的压缩了，不过我这里还是针对图像进行介绍一下吧。比如一幅1000*1000的图像A，存储就需要1000000个像素了。我们对A进行svd分解，则A=USV’，如果rank(A)=r，那么U就为1000*r的矩阵，S为r*r的矩阵，V为1000*r的矩阵。所以存储的数据就是1000*r+r*r+1000*r个数了，如果这个r比较小，那么存储的空间就会小很多了，当然了，如果r=1000，这时这样来算svd就是既浪费了空间又浪费了时间。所以用这个svd时，还是先看看它的秩为好。
下面给出程序和运行结果，这里使用不同的特征分量对原图像进行重构，可以看一下效果。（这里悲剧的秩就是原图的宽）
1 clear all;
2 close all;
3 clc;
4
5 a=imread('lena.jpg');
6
7 imshow(mat2gray(a))
8 [m n]=size(a);
9 a=double(a);
10 r=rank(a);
11 [s v d]=svd(a);
12
13 %re=s*v*d';
14 re=s(:,:)*v(:,1:1)*d(:,1:1)';
15 figure;
16 imshow(mat2gray(re));
17 imwrite(mat2gray(re),'1.jpg')
18
19 re=s(:,:)*v(:,1:20)*d(:,1:20)';
20 figure;
21 imshow(mat2gray(re));
22 imwrite(mat2gray(re),'2.jpg')
23
24 re=s(:,:)*v(:,1:80)*d(:,1:80)';
25 figure;
26 imshow(mat2gray(re));
27 imwrite(mat2gray(re),'3.jpg')
28
29 re=s(:,:)*v(:,1:150)*d(:,1:150)';
30 figure;
31 imshow(mat2gray(re));
32 imwrite(mat2gray(re),'4.jpg')
下面是效果图：
lena原图
只用第1个特征值进行重构
用前10个特征值进行重构
用前80个特征值进行重构
用前150个特征值进行重构
最后说一些奇异值分解的应用：
1.图像压缩，正如上面的。
2.噪声滤波。
3.模式识别。因为svd就是提取主要的成分嘛。
4.生物，物理，经济方面的一些统计模型的处理。