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李群
（数学术语(Lie Group)）
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群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
在数学中，李群（Lie group）是具有群结构的实
流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是栁形中的解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。
[1]
- 中文名
- 李群
- 外文名
- Lie Group
- 领 域
- 数学
- 定 义
- 具有群结构的实流形或者复流形
- 提出者
- S.李
- 应 用
- 数学分析、物理和几何
1870年前后，S.李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类。1874年，他建立了李群的一般理论。一个李群可以表示成如下形式：
1，2，…，n，其中f
i对x
i和a
i都是解析的，x
i是变量，而a
i是参数，(x
1，x
2，…，x
n)表示n维空间中的一点。变量或参数都取实数值或复数值。1883年，S.李借助于一组微分方程定义连续变换群。他的目的是用各种不同的方法把常微分方程的不同类型化成可由积分求解的形式，并建立起它们之间的一致性。S.李证明，如果一阶常微分方程接受由某个无穷小变换所确定的变换群，那么这个微分方程的解就可由积分式表达。他还考察了许多种带有已给变换的方程。这样一来，S.李就依据无穷小变换把
微分方程进行分类。
李群理论在最初的相当长一段时间内仅与一些微分方程的积分有联系，而与数学的其他分支关系不大。在19世纪的最后10年以及20世纪，李群理论在各种不同方向，主要是代数学和拓扑学方面得到了迅速的发展，成为数学的一个重要分支。李群理论的第一个近代化的叙述是由原苏联数学家庞特里亚金于1938年给出的。20世纪50年代，李群理论的发展进入了一个新的阶段，主要标志是代数群论的创立。代数几何方法的应用使李群理论的经典结果得到新的阐述，从而揭示了它与函数论、数论等理论的深刻联系。紧接着，p进李群的理论也得到重大发展。事实上，李群理论与数学的几个主要分支都有联系：通过李变换群与几何学、
拓扑学的联系，通过线性表示论与分析的联系等。李群在物理学和力学中也有着重要应用。
[2] 一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：
(1)封闭性，a·b∈G;
(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。
满足交换律的群，称为交换群。
群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。
1770年，
拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是
伽罗华在1830年首先提出的。
S.李是挪威数学家。生于努尔菲尤尔埃德，卒于克里斯蒂安尼亚(今
奥斯陆)。1865年毕业于克里斯蒂安尼亚大学。1869年获奖学金到
柏林留学，与C.F.克莱因在一起工作并结为好友。第二年在巴黎又结识了达布和若尔当，受到法国学派的影响。1871年回国在克里斯蒂安大学执教，1872年获博士学位。1886年到莱比锡大学接替C. F.克莱因的职务主持数学讲座，12年后返回挪威。1892年当选为法国科学院院士。1895年成为英国皇家学会会员。他还是许多其他科学机构的成员。S.李的主要贡献在以他的名字命名的李群和李代数方面。1870年，他从求解微分方程入手，依靠微分几何方法和射影几何方法建立起一种变换，将空间直线簇和球面一一对应。不久他发现，这种对应是连续的，能将微分方程的解表示出来并加以分类。由此S.李引入了一般的连续变换群概念，证明了一系列定理来发展他的理论。他把微分方程的自同构群作为工具，对二维群和三维群进行分类。在以后的多年中，S.李和他的助手继续丰富完善连续群论学说，出版了3卷本的专著《变换群论》(1888—1893)，后人为纪念他的贡献，将连续群改称“李群”。为研究李群，他还创立了所谓“李代数”——一种由无穷小变换构成的代数结构，并研究了二者之间的对应关系。李代数现已成为现代代数学的重要分支。此外，S.李在代数
不变量理论、微分几何学、分析基础和
函数论等方面也有建树。S.李的工作在20世纪初由法国数学家E.
嘉当等加以发展。
[3]
同构
G,H均为李群，二者之间的一个同态：f\,:G→H为 群 并且是 解析映射 （事实上，可以证明这里解析的条件堪需满足连续即可）。显然，两个同态砄复合是同态。所有李群的 类 加上同态构成一个 范畴。两个李群之间存在一个 双射 ，这个双射及其逆射均为同态，就称为同构。
两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。
建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。
同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。
同态
E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤. 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：
设E与F为两个
幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。
设G为乘法群，而a为G的元素. 由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。
设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
例如，设n为非零自然数;使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态.设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数). 称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。
例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基. 则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态.
[4] - 参考资料
