从线性组合的角度理解三维运算

从线性组合的角度理解三维运算

一、矩阵的向量化

利用分块矩阵概念，矩阵(A=(a_{ij})_{m imes n})可以按行划分为一组行向量

[A=egin{pmatrix} alpha_1 \ alpha_2 \ vdots \ alpha_m \ end{pmatrix} ]

其中

[alpha_i=(a_{i1},a_{i2},cdots,a_{in}),iin[1,2,cdots,m] ]

或，按列划分为一组列向量(A=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n))，其中

[eta_j=egin{pmatrix}a_{1j}\a_{2j}\vdots\a_{mj}end{pmatrix},jin[1,2,cdots,n] ]

因此，矩阵(A)可以看成是有序向量组((alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)^T)或((eta_1,eta_2,cdots,eta_n))。

二、向量的线性组合

假设数域(F)上的线性空间(V_m)上的一组基为((alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m))，则(V)上任一向量(alpha)可以表示为这组基的线性组合：

[alpha=k_1alpha_1+k_2alpha_2+cdots+k_malpha_m ]

三、矩阵乘法的向量式

同样利用分块矩阵概念，矩阵(A=(a_{ij})_{m imes n},B=(b_{ij})_{n imes s})的乘法可以表示为：

[AB=egin{pmatrix} alpha_1 \ alpha_2 \ vdots \ alpha_m \ end{pmatrix}B=egin{pmatrix} alpha_1B \ alpha_2B \ vdots \ alpha_mB \ end{pmatrix}=egin{pmatrix} displaystylesum_{j=1}^na_{1j}gamma_j \ displaystylesum_{j=1}^na_{2j}gamma_j \ vdots \ displaystylesum_{j=1}^na_{mj}gamma_j \ end{pmatrix} ]

其中，按行划分，(B=(gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_n)^T)，(AB)可以看成：(AB)的第(i)行向量是(B)行向量组的线性组合，系数为(A)的第(i)行(alpha_i)。

或

[AB=A( heta_1, heta_2,cdots, heta_s)=(A heta_1,A heta_2,cdots,A heta_s)=egin{pmatrix} displaystylesum_{i=1}^neta_1b_{i1} & displaystylesum_{i=1}^neta_2b_{i2} & cdots & displaystylesum_{i=1}^neta_ib_{is} end{pmatrix} ]

其中，按列划分，(B=( heta_1, heta_2,cdots, heta_s))，(AB)可以看成：(AB)的第(j)列向量是(A)列向量组((eta_1,eta_2,cdots,eta_n))的线性组合，系数为(B)的第(j)列( heta_j)。

因此，矩阵乘法可以理解为：

• (AB)是(B)行向量组的线性组合；
• (AB)也是(A)列向量组的线性组合。

四、线性组合在三维计算中的应用

在三维计算中，我们常看到坐标左乘矩阵，或者坐标右乘矩阵：

1. 坐标左乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，(AB)的第(i)行向量是(B)行向量组的线性组合，系数为(A)的第(i)行(alpha_i)。这时，(R^n)上的坐标可以表示为行向量(v=(c_1,c_2,cdots,c_n))，矩阵看成是一组行向量(A=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)^T)，坐标左乘为

[vA=vcdot A = (c_1,c_2,cdots,c_n)cdot (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n) = sum_{i=1}^nc_ialpha_i ]

2. 坐标右乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，(AB)的第(j)列向量是(A)列向量组的线性组合，系数为(B)的第(j)列( heta_i)。这时，(R^n)上的坐标可以表示为列向量(v^T=(c_1,c_2,cdots,c_n))，矩阵看成是一组列向量(A=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n ))，坐标右乘为

[Av^T=Acdot v = (eta_1,eta_2,cdots,eta_n)cdot(c_1,c_2,cdots,c_n) = sum_{i=1}^nc_ieta_i ]

3. 使用线性组合的方式来表示点与矩阵乘法

这里，在空间坐标系下，只讨论方阵。

由以上坐标左乘矩阵与坐标右乘矩阵讨论可以看出，我们在三维计算中使用的坐标与方阵乘法，无论左乘还是右乘，都是点坐标分量与向量组的线性组合关系，左乘和右乘只是约定了向量的书写方式（行或列）。

从而，方阵可以看成是有序向量组(A=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n))，其中(alpha_i)可以为行或列向量，我们可以定义方阵与点坐标的乘法为

[vcdot A = Acdot v = (c_1,c_2,cdots,c_n)cdot (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)= (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)cdot (c_1,c_2,cdots,c_n) = sum_{i=1}^nc_ialpha_i ]

这样，点与方阵不论左乘还是右乘，形式都是一样的。

其中，上述运算满足与方阵乘法的结合律：

[(vcdot A)B=(sum_{i=1}^nc_ialpha_i)B=sum_{i=1}^nc_ialpha_iB=sum_{i=1}^nc_i(AB)_i=vcdot (AB) ]

不过，由于方阵间乘法与矩阵的行列模式相关，一般的(AB eq BA)，所以需要注意方阵行列模式选择的一致性。

[(A cdot v)B=(sum_{i=1}^nc_ieta_i)B eq sum_{i=1}^nc_ieta_iB ]

其中((eta_i)_{n imes 1}B_{n imes n})无法相乘，列模式下应为：

[B(A cdot v)=B((eta_1,eta_2,cdots,eta_n)cdot (c_1,c_2,cdots,c_n))=B(sum_{i=1}^nc_ieta_i)=sum_{i=1}^nc_i(Beta_i)=sum_{i=1}^nc_i(BA)_i ]

所以，需要注意左乘与右乘的选择，它关系到方阵的运算结果。

4. 几何解析

1. 一组基就是一个空间坐标系，每一个基向量就是一个坐标轴向量；
2. 点坐标就是在该坐标系下各坐标分量；

假设有两个空间坐标系（两组基）(M_1, M_2)，点(v)在各自坐标系下的坐标为(v_1,v_2)，有

行向量模式

[v_1M_1 = v_2M_2 ]

[v_1 = v_2M_2M_1^{-1} ]

[v_1M_1M_2^{-1} = v_2 ]

其中:

• (M_2M_1^{-1})是点(v)在空间坐标系2点坐标(v_2)到空间坐标系1点坐标(v_1)的过渡矩阵。
• (M_1M_2^{-1})是点(v)在空间坐标系1点坐标(v_1)到空间坐标系2点坐标(v_2)的过渡矩阵。

列向量模式

[M_1 v_1 = M_2 v_2 ]

[v_1 = M_1^{-1}M_2 v_2 ]

[M_2^{-1}M_1 v_1 = v_2 ]

其中:

• (M_1^{-1}M_2)是点(v)在空间坐标系2点坐标(v_2)到空间坐标系1点坐标(v_1)的过渡矩阵。
• (M_2^{-1}M_1)是点(v)在空间坐标系1点坐标(v_1)到空间坐标系2点坐标(v_2)的过渡矩阵。

行列模式之间为转置关系

[(v_rM_r)^T=M_cv_c ]

其中：

[v_c=(v_r)^T,M_c=(M_r)^T=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)^T=(alpha_1^T,alpha_2^T,cdots,alpha_n^T) ]

五、结语

点坐标与矩阵的乘法从线性组合的角度看，就是：

1. 矩阵是一组基；
2. 点坐标是点在这组基上的组合系数；

在三维空间中，可以进一步理解为：

1. 一组基就是一个局部空间坐标系，每一个基就是坐标轴向量；
2. 点坐标就是各坐标轴的分量；
3. 坐标与矩阵相乘是坐标轴向量的线性组合。

使用向量（基，坐标轴向量）来认识矩阵，把握了空间的本质，坐标是各分量在基上的度量，它反映了相对于基向量的线性相关度。