线性方程组和矩阵

第一章 线性方程组和矩阵

同济大学(线性代数)

目录

• 第一章 线性方程组和矩阵
  • 第一节 矩阵的概念及运算
    • 一、矩阵的定义
      • 定义1 矩阵定义
      • 定义2 矩阵相等
    • 二、矩阵的线性运算
      • 定义3 矩阵加法$A+B$
      • 定义4 矩阵数乘$kA$
    • 三、矩阵的乘法
      • 定义5 矩阵乘法$A_{m×p}B_{p×n}$
    • 四、矩阵的转置
      • 定义6 矩阵转置$A_{m×n}$
      • 定义7 对称矩阵,反对称矩阵
  • 第二节 分块矩阵
    • 一、分块矩阵的概念
    • 二、分块矩阵的运算
  • 第三节 线性方程组与矩阵的初等变换
    • 一、矩阵的初等变换
      • 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
      • 定义2 矩阵等价
  • 第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
    • 一、方阵的逆矩阵
      • 1. 逆矩阵的定义
      • 2. 逆矩阵的性质
    • 二、初等矩阵
    • 三、初等矩阵与逆矩阵的应用

第一节 矩阵的概念及运算

［课前导读］
线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识.

一、矩阵的定义

由(m)个方程(n)个未知量(x_1,x_2,...,x_n)构成的线性（即:一次）方程组可以表示为

[ ag{1-1}left{egin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \ ... \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m \ end{aligned} ight.]

在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数(a_{ij}(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n))和(b_i(i=1，2，…，m))完全确定，所以可以用一个(m×(n+1))个数排成的(m)行(n+1)列的数表

[widetilde{A}=egin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}&{b_1}\ {a_{21}}&{a_{22}}&{cdots}&{a_{2n}}&{b_2}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{cdots}&{a_{mn}}&{b_m}\ end{bmatrix} ]

表示线性方程组（1-1）．这个数表的第(j（j=1，2，…，n）)列表示未知量(x_j（j=1，2，…，n）)前的系数，第(i（i=1，2，…，m）)行表示线性方程组（1-1）中的第(i（i=1，2，…，m）)个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个(m)行(n+1)列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．

定义1 矩阵定义

(m×n)个数(a_{ij}(i=1,2,{cdots},m;j=1,2,{cdots},n))排成的(m)行(n)列的数表

[egin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}\ {a_{21}}&{a_{22}}&{cdots}&{a_{2n}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{cdots}&{a_{mn}}\ end{bmatrix}]

称为一个(m×n)矩阵，简记为((a_{ij}))，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为((a_{ij})_{m×n})．数(a_{ij})位于矩阵((a_{ij}))的第(i)行第(j)列，称为矩阵的((i,j))元素，其中(i)称为元素(a_{ij})的行标，(j)称为元素((_{ij})的列标．

一般地，常用英文大写字母(A,B,…)或字母(α，β，γ，…)表示矩阵，如(A=(a_{ij}), B=(b_{ij}),A_{m×n},B_{m×n})等．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．

(1×1)的矩阵

(1×n)的矩阵, 称为行矩阵,也称为(n)维行向量.

[(a_1, a_2, {cdots}, a_n) ]

(n×1)的矩阵, 称为列矩阵,也称为(n)维列向量.

[egin{bmatrix}a_1\ a_2\ {vdots} \a_n\end{bmatrix} ]

所有元素都是零的(m×n)的矩阵称为零矩阵,记为(O_{m×n}), 或简记为(O).

(n×n)的矩阵称为方阵. 元素(a_{ii}(i=1, 2, {cdots}, n))所在的位置称为(n)阶方阵的主对角线.

上三角

[egin{bmatrix} {a_{11}}&0&{cdots}&0\ {a_{21}}&{a_{22}}&{cdots}&0\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{cdots}&{a_{nn}}\ end{bmatrix}]

下三角

[egin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}\ 0 & {a_{22}}&{cdots}&{a_{2n}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ 0 & 0 & {cdots}&{a_{nn}}\ end{bmatrix}]

对角阵, (diag(a_1, a_2, {cdots}, a_n))

[egin{bmatrix} {a_{1}}&0&{cdots}&0\ 0 & {a_{2}}&{cdots}&0\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ 0 & 0 & {cdots}&{a_{n}}\ end{bmatrix}]

单位矩阵(E_n)或(E)

[E=egin{bmatrix} 1&0&{cdots}&0\ 0 & 1&{cdots}&0\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ 0 & 0 & {cdots}&1\ end{bmatrix}]

定义2 矩阵相等

两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵．如果两个同型矩阵(A=(a_{ij})_{m×n})和(B=(b_{ij})_{m×n})中所有对应位置的元素都相等，即(a_{ij}=b_{ij})，其中(i=1, 2, {cdots}, m; j=1, 2, {cdots}, n)则称矩阵(A)和(B)相等，记为(A=B)．

二、矩阵的线性运算

定义3 矩阵加法(A+B)

设(A=(a_{ij})_{m×n})和(B=(b_{ij})_{m×n})是两个同型矩阵，则矩阵(A)与(B)的和记为(A+B)，规定

[A+B=egin{pmatrix} {a_{11}+b_{11}}&{a_{12}+b_{12}}&{cdots}&{a_{1n}+b_{1n}}\ {a_{21}+b_{21}}&{a_{22}+b_{22}}&{cdots}&{a_{2n}+b_{2n}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{m1}+b_{m1}}&{a_{m2}+b_{m2}}&{cdots}&{a_{mn}+b_{mn}}\ end{pmatrix} ]

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设(A，B，C)是任意三个(m×n)矩阵，则

1. 交换律：(A+B=B+A)；
2. 结合律：((A+B)+C=A+(B+C))；
3. (A+O_{m×n}=O_{m×n}+A=A)．

对于矩阵(A=(a_{ij})_{m×n})，称矩阵((-a_{ij})_{m×n})为矩阵(A)的负矩阵，记为(-A)．显然，(A+(-A)=O_{m×n})．由此可以定义矩阵(A=(a_{ij})_{m×n})和(B=(b_{ij})_{m×n})的减法为(A-B=A+(-B)=(a_{ij}-b_{ij})_{m×n})．

定义4 矩阵数乘(kA)

用一个数(k)乘矩阵(A=(a_{ij})_{m×n})的所有元素得到的矩阵((kcdot a_{ij})_{m×n})称为矩阵的数乘，记为(kA)或者(Ak)，即(kA=Ak=(kcdot a_{ij})_{m×n})．

如果(k，l)是任意两个数，(A，B)是任意两个(m×n)矩阵，则矩阵的数乘运算满足：

1. (k(A+B)=kA+kB)；
2. ((k+l)A=kA+lA)；
3. ((kl)A=k(lA)=l(kA))；
4. (1A=A)；
5. ((-1)A=-A)；
6. (0A=O_{m×n})．

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵的乘法

定义5 矩阵乘法(A_{m×p}B_{p×n})

设矩阵(A=(a_{ij})_{m×p})，矩阵(B=(b_{ij})_{p×n})，定义矩阵A与B的乘积是矩阵(C=(c_{ij})_{m×n})，其中矩阵(C=(c_{ij}))的第(i)行第(j)列元素(c_{ij})是矩阵(A)的第(i)行元素(a_{i1}，a_{i2}，…，a_{ip})与矩阵(B)的第(j)列相应元素(b_{1j}，b_{2j}，…，b_{pj})的乘积之和，即

[c_{ij}=sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + cdots + a_{ik}b_{kj} ]

必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

1 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，(AB≠BA)；
2 尽管矩阵(A)与(B)满足(AB=O)，但是得不出(A=O)或(B=O)的结论．

但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．

1. 结合律：((AB)C=A(BC))．
2. 矩阵乘法对矩阵加法的分配律：(A(B+C)=AB+AC，(A+B)C=AC+BC)．
3. ((kA)B=A(kB)=k(AB))．
4. (E_mA_{m×n}=A_{m×n}E_n=A_{m×n})．
5. (O_{m×s}A_{s×n}=O_{m×n}；A_{m×s}O_{s×n}=O_{m×n})

对于方阵有

[A^k=underbrace{AAcdots A}_{k} ]

并且规定：对非零方阵(A)，有(A^0=E)．
方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：

[A^kA^l=A^{k+l}；(A^k)^l=A^{kl}． ]

四、矩阵的转置

定义6 矩阵转置(A_{m×n})

设(A=egin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}\ {a_{21}}&{a_{22}}&{cdots}&{a_{2n}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{cdots}&{a_{mn}}\ end{pmatrix})，把矩阵(A)的行换成同充数的列,得到(n×m)矩阵称为矩阵(A)的转置矩阵，记为(A^T)，即

[A^T=egin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{21}}&{cdots}&{a_{m1}}\ {a_{12}}&{a_{22}}&{cdots}&{a_{m2}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {a_{1n}}&{a_{2n}}&{cdots}&{a_{nm}}\ end{pmatrix}]

矩阵的转置满足下面的运算规律(这里(k)为常数，(A)与(B)为同型矩阵)：

1. ((A^T)^T=A)；
2. ((A+B)^T=A^T+B^T)；
3. ((AB)^T=B^TA^T)；
4. ((kA)^T=kA^T)．

定义7 对称矩阵,反对称矩阵

(n)阶方阵(A)如果满足(A^T=A)，则称(A)为对称矩阵，如果满足(A^T=-A)，则称(A)为反对称矩阵．

第二节 分块矩阵

［课前导读］

当矩阵的行数和列数较高时，为了证明或计算的方便，常把矩阵分成若干小块，把每个小块当作“数”来处理，这便是矩阵的分块．这一节我们将讨论矩阵的分块方式和分块矩阵的计算．在学习这一节之前，需要读者熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的转置运算．

一、分块矩阵的概念

对于行数和列数较高的矩阵(A)，运算时常用一些横线和竖线将矩阵(A)分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为(A)的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．

二、分块矩阵的运算

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，不同的计算方式，分块的原则不同，下面分情况讨论．

（1）分块矩阵加（减）运算：设(A、B)都是(m×n)矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

[A=egin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{cdots}&{A_{1t}}\ {A_{21}}&{A_{22}}&{cdots}&{A_{2t}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {A_{s1}}&{A_{s2}}&{cdots}&{A_{st}}\ end{pmatrix},B=egin{pmatrix} {B_{11}}&{B_{12}}&{cdots}&{B_{1t}}\ {B_{21}}&{B_{22}}&{cdots}&{B_{2t}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {B_{s1}}&{B_{s2}}&{cdots}&{B_{st}}\ end{pmatrix}]

其中(A_{ij})和(B_{ij})的行数相同、列数相同，则有

[A+B=egin{pmatrix} {A_{11}+B_{11}}&{A_{12}+B_{12}}&{cdots}&{A_{1t}+B_{1t}}\ {A_{21}+B_{21}}&{A_{22}+B_{22}}&{cdots}&{A_{2t}+B_{2t}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {A_{s1}+B_{s1}}&{A_{s2}+B_{s2}}&{cdots}&{A_{st}+B_{st}}\ end{pmatrix}]

（2）分块矩阵的数乘运算：

[kA=egin{pmatrix} {kA_{11}}&{kA_{12}}&{cdots}&{kA_{1t}}\ {kA_{21}}&{kA_{22}}&{cdots}&{kA_{2t}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {kA_{s1}}&{kA_{s2}}&{cdots}&{kA_{st}}\ end{pmatrix}]

（3）分块矩阵乘法：设(A_{m×s}、B_{s×n})，要求矩阵(A)的列分块方式与矩阵(B)的行分块方式保持一致，而对矩阵A的行分块方式及矩阵B的列分块方式没有任何要求和限制．不妨设

[A=egin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{cdots}&{A_{1k}}\ {A_{21}}&{A_{22}}&{cdots}&{A_{2k}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {A_{t1}}&{A_{t2}}&{cdots}&{A_{tk}}\ end{pmatrix},B=egin{pmatrix} {B_{11}}&{B_{12}}&{cdots}&{B_{1u}}\ {B_{21}}&{B_{22}}&{cdots}&{B_{2u}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {B_{k1}}&{B_{k2}}&{cdots}&{B_{ku}}\ end{pmatrix}]

其中(A_{i1}，A_{i2}，…，A_{ik})的列数分别等于(B_{1j}，B_{2j}，…，B_{kj})的行数, 则

[AB=egin{pmatrix} {C_{11}}&{C_{12}}&{cdots}&{C_{1u}}\ {C_{21}}&{C_{22}}&{cdots}&{C_{2u}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {C_{t1}}&{C_{t2}}&{cdots}&{C_{tu}}\ end{pmatrix}]

其中

[C_{ij}=sum_{t=1}^k A_{it}B_{tj}=A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + cdots + A_{it}B_{tj} ]

（4）分块矩阵的转置：设(A=egin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{cdots}&{A_{1k}}\ {A_{21}}&{A_{22}}&{cdots}&{A_{2k}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {A_{t1}}&{A_{t2}}&{cdots}&{A_{tk}}\ end{pmatrix}), 则(A^T=egin{pmatrix} {A_{11}}^T&{A_{21}}^T&{cdots}&{A_{t1}}^T\ {A_{12}}^T&{A_{22}}^T&{cdots}&{A_{t2}}^T\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {A_{1k}}^T&{A_{2k}}^T&{cdots}&{A_{tk}}^T\ end{pmatrix})

（5）分块对角阵：设(A)是(n)阶方阵，若(A)的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即

[A=egin{pmatrix} {A_{1}}&O&{cdots}&O\ O&{A_{2}}&{cdots}&O\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ O&O&{cdots}&{A_{t}}\ end{pmatrix}]

其中(A_i（i=1，2，…，t）)都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.

第三节 线性方程组与矩阵的初等变换

［课前导读］
本节通过高斯消元法解线性方程组，引入矩阵的初等行变换，并给出矩阵的初等变换、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价等概念．最后，我们利用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．在学习本节之前，需要读者回忆消元法解线性方程组的相关知识．当然，正文中会详细给出如何用消元法解线性方程组．

一、矩阵的初等变换

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换

（1）交换矩阵的某两行，我们用(r_i↔r_j)表示交换矩阵的第(i,j)两行；
（2）矩阵的某一行乘以非零数，用(kr_i)表示矩阵的第(i)行元素乘以非零数(k)；
（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用(r_j+kr_i)表示将矩阵第(i)行的(k)倍加到第(j)行．

将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“(r)”换成“(c)”），就得到了矩阵的初等列变换的定义．

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．

对于一般的矩阵，我们有下面的结论．

定理

1. 任意一个(m×n)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
2. 任意一个(m×n)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
3. 任意一个(m×n)矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它的标准形(F=egin{pmatrix} E_r&O\ O&O end{pmatrix})其中(r)为行阶梯形矩阵中非零行的行数．

定义2 矩阵等价

若矩阵(A)经过有限次初等行（列）变换化为矩阵(B)，则称矩阵(A)与矩阵(B)行（列）等价；若矩阵(A)经过有限次初等变换化为矩阵(B)，则称矩阵(A)与矩阵(B)等价．

我们用(Astackrel{r}{sim}B)表示矩阵(A)与矩阵(B)行等价，用(Astackrel{c}{sim}B)表示矩阵(A)与矩阵(B)列等价，用(Asim B)表示矩阵(A)与矩阵(B)等价．注意：矩阵间的行（列）等价以及矩阵间的等价是一个等价关系，即满足

1. 自反性：任意矩阵A与自身等价．
2. 对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价．
3. 传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则矩阵A与矩阵C等价．

等价关系是数学中一个十分重要的概念．等价的对象具有某种共性，这在以后可以得到具体的体现．

第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵

［课前导读］
我们知道，在实数的运算中有逆的概念，即如果(ab=ba=1)，则有(b=a^{-1})和(a=b^{-1})．本节我们也在矩阵的运算中引入类似的概念，即方阵的逆，并给出逆矩阵的性质和求法．在学习本节前，需要读者熟悉矩阵的初等变换．

一、方阵的逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

定义1　设(A)为(n)阶方阵，如果存在(n)阶方阵(B)使得

[ ag{4-1} AB=BA=E ]

其中，(E)为(n)阶单位方阵，则称矩阵(A)是可逆的，矩阵(B)称为(A)的逆矩阵；否则称(A)是不可逆的．

如果矩阵(A)可逆，则(A)的逆矩阵一定是唯一的．这是因为，若矩阵(B、C)都满足

[AB=BA=E，AC=CA=E ]

由于矩阵乘法满足结合律，于是$$C=CE=C（AB）=（CA）B=EB=B$$

所以(A)的逆矩阵一定是唯一的．(A)的逆矩阵记为(A^{-1})．

2. 逆矩阵的性质

1. 若(A)可逆, 则(A^{-1})也可逆, 并且((A^{-1})^{-1}=A);
2. 若矩阵(A_1,A_s,cdots,A_s)可逆, 则它们的乘积(A_1A_scdots A_s)也可逆, 并且((A_1A_scdots A_s)^{-1}=A_s^{-1}cdots A_2^{-1}A_1^{-1});
3. 若(A)可逆, 则(A^T)也可逆, 并且((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T);
4. 若(A)可逆并且数(k eq0), 则(kA)也可逆, 并且((kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1});

二、初等矩阵

定义2　对(n)阶单位矩阵(E)实施一次初等变换得到的矩阵称为(n)阶初等矩阵．由于初等变换有三种，对(n)阶单位矩阵(E)实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类．

1. 交换单位阵(E)的第(i)行和第(j)行，或交换(E)的第(i)列和第(j)列，得到的初等矩阵记为(E(i,j))，即

[E(i,j)=egin{pmatrix} 1\ &{ddots}\ &&0&&1&& _{第i行}\ &&&{ddots}\ &&1&&0&&_{第j行}\ &&&&&{ddots}\ &&&&&&1\ end{pmatrix}]

2. 用非零数(k)乘单位阵(E)的第(i)行或第(i)列，得到的初等矩阵记为(E(i(k)))，即

[E(i(k))=egin{pmatrix} 1\ &{ddots}\ &&1\ &&&k&&&_{第i行}\ &&&&1\ &&&&&{ddots}\ &&&&&&1\ end{pmatrix}]

3. 将单位阵(E)的第(i)行乘以非零数(k)加到第(j)行(或将单位阵(E)的第(j)列乘以非零数(k)加到第(i)列)，得到的初等矩阵记为(E(i(k), j))，即

[E(i(k),j)=egin{pmatrix} 1\ &{ddots}\ &&1&&0&& _{第i行}\ &&&{ddots}\ &&k&&1&&_{第j行}\ &&&&&{ddots}\ &&&&&&1\ end{pmatrix}]

关于初等变换与初等矩阵的关系，我们有下面的结论．

命题1 初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，即

[E(i,j)^{-1}=E(i,j),E(i(k))^{-1}=E(i(dfrac1k)),E(i(k),j)^{-1}=E(i(-k),j) ]

证明 直接计算可得

(E(i,j)E(i,j)=E)
(E(i(k))E(i(dfrac1k))=E(i(dfrac1k))E(i(k))=E)
(E(i(k),j)E(i(-k),j)=E(i(-k),j)E(i(k),j)=E)

命题2　设(A)是一个(m×n)矩阵，对(A)施行一次初等行变换，相当于在(A)的左边乘以相应的(m)阶初等矩阵；对(A)施行一次初等列变换，相当于在(A)的右边乘以相应的(n)阶初等矩阵．

三、初等矩阵与逆矩阵的应用

首先，我们利用初等矩阵和初等变换给出一个方阵可逆的判别条件．

定理1　下面命题互相等价：
（1）(n)阶方阵(A)可逆；
（2）方阵(A)行等价于(n)阶单位矩阵(E)；
（3）方阵(A)可表示为一些初等方阵的乘积．

证明　为了证明的方便，我们采取（1）⇒（2）⇒（3）⇒（1）的方式来证明．

（1）⇒（2）:由本章第三节的定理可知，方阵(A)经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵(R)．再由命题2可知，这相当于存在若干个初等矩阵(P_1，P_2，…，P_s)，使得(P_s…P_2P_1A=R). 由于初等矩阵都可逆，若(A)可逆，则根据逆矩阵的性质知(P_s…P_2P_1A=R)可逆，从而行最简形矩阵(R)没有全零行，这迫使(R=E)，即(P_s…P_2P_1A=E)，所以方阵(A)行等价于(n)阶单位矩阵(E).

（2）⇒（3）：若方阵(A)行等价于(n)阶单位矩阵(E)，则存在若干个初等矩阵(P_1，P_2，…，P_s)，使得(P_s…P_2P_1A=E)．由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记(P_1，P_2，…，P_s)的逆矩阵分别为(P_1^{-1}，P_2^{-1}，…，P_s^{-1}), 于是(P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}(P_s…P_2P_1A)=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}E), 即(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1})
即也就是说，(A)可表示为初等方阵的乘积．

（3）⇒（1）：设方阵(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1})，其中(P_1^{-1}，P_2^{-1}，…，P_s^{-1})均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，于是它们的乘积(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1})也可逆．

由定理1的证明可知，若(n)阶方阵(A)可逆，则存在一个可逆阵(P=P_s…P_2P_1)，使得(PA=E)，于是$$A^{-1}=(P_1{-1}P_2^{-1}…P_s{-1})^{-1}=P_s…P_2P_1=P$$

构造一个分块矩阵((A|E)),做分块矩阵乘法:

[P(A|E)=(PA|PE)=(E|P)=(E|A^{-1}) ]

上式等价于对分块矩阵(（A|E）)实施了若干次初等行变换，当(A)变成(E)时，(E)就变成了(A^{-1})．所以，定理1给出了判别矩阵(A)是否可逆，并在可逆时求(A^{-1})的一种方法：
（1）首先构造分块矩阵(（A|E）)；
（2）对矩阵(（A|E）)实施初等行变换，将(（A|E）)化为行最简形矩阵；
（3）如果(A)不能行等价于(E)，则矩阵(A)不可逆；若(A)能行等价于(E)，则(A)可逆，且(E)就行等价于(A^{-1})．