• 时间复杂度的概念以及计算


    老规矩, 先看看维基定义:

    The time complexity of an algorithm quantifies the amout of time taken by an algorithm to run as function. The complexity of an algorithm is commonly expressed using big O notation, which excludes coefficients and lower order terms.

    算法的时间复杂度量化了函数运行算法所花费的时间,排除了系数以及低阶项,算法 通常用大写的 O 表示。

    T(n) =  O(f(n))  (f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度)

    算法一(线性级别):

    1 int x = 1;         // 计算 1 次
    2 for  (in i = 0; i < n; i++)
    3 {
    4     x += 1;        // 计算 n 次
    5 }

     算法共计算 n + 1 次, n 无限大, 则 n ≈ n + 1(排除低阶项), 则此算法的时间复杂度为 T(n) =  O(f(n)) = O(n).

    算法二 (平方级别):

    1 for (int i = 0; i < N; i++)
    2 {
    3     for (int j = i + 1; j < N; j++)
    4      {
    5          x  += j    //  执行 n + (n - 1) + (n - 2) + ...... + 1 次
    6     }
    7 }

      算法执行 n(n + 1)/2 次, 排除系数以及低阶项, 算法复杂度T(n) =  O(n2).

    算法三 (指数级别) :

     1 // 二分查找, x[n] 为递增数组, 求数组中值等于 p 的下标。 
     2 left = 0;
     3 right = n - 1;
     4 while (left <= right)
     5 {
     6     mid = (left  + right)/2;  
     7 
     8     case:
     9             x[mid] < t : left = mid + 1;
    10             x[mid] = t : p = mid; break;
    11             x[mid] > t : right = mid - 1;

    共同 n 个元素, 二分执行,剩余元素依次为 n/21, n/22/, n/23,  n/2k ,其中 k 为程序执行次数。

    令   n/2= 1, 则 n = 2k,  k = logn, 复杂度 O = (logn).

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