线性代数复习（1）------方程组的几何解释

线性代数复习（1）------方程组的几何解释

• • 方程组的几何解释
  • • 列向量的线性组合
    • 行向量的线性组合
    • 行与列的几何说明

方程组的几何解释

先看看一个简单的方程组
$$\{\begin{array}{l}2x-2y=0\\ -x+2y=3\end{array}$$
这个方程组的几何解释很简单，就是两直线的交点。
再做一点变动：

$\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 2\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ =$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$

这是我们常见的一种写法，其表达是一致的，也就是上面的方程组。但是在这样的写法之下，其几何解释就有了新的定义：

列向量的线性组合

先看（1）式，我们竖着看也就是看它的列，第一列是$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$，第二列是$\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$，他们经由与$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的运算后得到了$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$，在细看第一列与x在方程中的关系，不难发现就是x的系数，同样第二列就是y的系数。
那么这种运算的定义似乎可以这么写：

$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$*x+$\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$*y=$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$

这就有点像是向量的表示了，向量$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$"伸缩"了x倍之后，加上了"伸缩"了y倍的向量$\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$，合成了向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$。即向量$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$与向量$\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$以$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$的组合方式合成了向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$。方程组便成了向量的线性组合了。

行向量的线性组合

当然行与列我们也可以互换，于是就有了：

$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 2\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}0& 3\end{array}\right]$

我们将乘数的行与列都对调了一下，于是便成了上面的样子。变化一下就有这样的线性组合：

x*$\left[\begin{array}{cc}2& -1\end{array}\right]$+y*$\left[\begin{array}{cc}-2& 2\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}0& 3\end{array}\right]$

这样的则是行的线性组合。行的线性组合在左边，列的线性组合在右遍。（左行右列）

行与列的几何说明

之前我们在解释方程组的时候其实是在"一行一行"的去看，所以在二元时（x，y）是一些直线的交点，三元时（x，y，z）是平面的交点（也可能交的是平面），而从列的方向来看就很直观了，就是相同维度的多个列向量的线性组合。