无向图是否是无环连通图的判别

这是2020的最后一篇博客，对今天数据结构小测的一道题总结一下。

题目：给定顶点个数n和无向图的邻接矩阵bool m[graph_size][graph_size]，写出判断是否为无环连通图的函数bool Isconnectedacyclic()。

上午写的时候只想到深搜/广搜，下午听老师讲了一下，想到了其他方法，这里总结三种，如有错误请指正。

1.深搜/广搜

本来我是打算写深搜的，但由于给定的函数没有参数，懒得再写一个函数了。深搜应该是比较直接的方法，这里不多赘述。

而广搜比深搜麻烦的一点是新加入的点要考虑父节点，从而避免重复访问。这里有两种方法：一是对新加入的点记录父节点，在对边遍历时遇到父节点则跳过；二是利用邻接矩阵对边访问的特性，直接删掉用过的边和对称的边。下面给出第二种的代码：

bool Isconnectedacyclic()
{
    vector<bool>vit(n,false);
    queue<int>que;
    bool flag=false;
    que.push(0);
    vit[0]=true;
    while(!que.empty())
    {
        int p=que.front();
        que.pop();
        for(int i=0;i<graph_size;++i)
        {
            if(m[p][i])
            {
                if(vit[i])flag=true;
                else
                {
                    vit[i]=true;
                    que.push(i);
                }
                m[p][i]=m[i][p]=false; //删边
            }
        }
    }
    if(flag)return false; //有回路
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(!vit[i])return false; //非联通图
    }
    return true;
}

2.并查集：

其实跟kruskal算法基本一样，对所有的边遍历，如果两个顶点在同一集合说明有环，否则将他们合并。如果有两个以上连通分支说明非连通图。

下面是代码：

 

 1  int f[n];
 2 int find(int k)
{
    if(f[k]==k)return k;
    return f[k]=find(f[k]);
}
bool Isconnectedacyclic()
{
    for(int i=0;i<n;++i)f[i]=i;
    for(int i=0;i<graph_size;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<graph_size;++j)
        {
            if(m[i][j])
            {
                int fi=find(i),fj=find(j);
                if(fi==fj)return false;
                f[fi]=fj;
            }
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(f[i]==i)cnt++;
    }
    return cnt==1;
}

3.树的性质：

写的时候没有想起（好不应该），一个无环连通图正是一棵树。根据树的性质，边数m=顶点数n -1，我们统计总共有多少条边，如果m<n-1说明非连通；如果m>n-1说明必定有环；如果m==n-1，还要对图进行一次遍历，判断是否为连通图。

以下是代码：

bool Isconnectedacyclic()
{
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<graph_size;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<graph_size;++j)
        {
            if(m[i][j])cnt++;
        }
    }
    if(cnt!=n-1)return false;
    vector<bool>vit(n,false);
    queue<int>que;
    que.push(0);
    vit[0]=true;
    while(!que.empty())
    {
        int p=que.front();
        que.pop();
        for(int i=0;i<graph_size;++i)
        {
            if(m[p][i]&&!vit[i])
            {
                vit[i]=true;
                que.push(i);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(!vit[i])return false;
    }
    return true;
}