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[ ext{乘法逆元} ]

学习博客

定义：

这是来自大佬博客的：
对于缩系中的元素，每个数(a)均有唯一的与之对应的乘法逆元(x)，使得(ax equiv 1 (mod n))，一个数有逆元的充分必要条件是(gcd(a,n)=1)，此时逆元唯一存在

求逆元的几种方法

1.扩展欧几里得算法

设(a)的逆元是(x) ，(x)满足(axequiv1)，因为除法的实质是减法所以，方程也可以写为(ax-my=1)，求得一组解之后判断(gcd(x,y))是否是一，如果不是则说明不是，因为我们用(exgcd)求得就是一组最小解了。如果是，则需调整(x)到相应范围((0到m-1))
Code：

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y) {
	if(!b) {x = 1, y = 0; return;}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}
int inv(int a, int n) {
	int x, y;
	int d = exgcd(a, n, x, y);
	return d == 1 ? (x + n) % n : -1;
}

费马小定理:

是欧拉定理的一种特殊情况
(a^{p-1}equiv1(mod p))
(a^{p-2}equiv a^{-1}(mod p))
除以一个数等于乘上这个数的逆元
除以一个数等于乘他的倒数，而此时的指数为(-1)正好就是他的倒数，也就是他的逆元
需要检验求出的幂值(x)与(a)相乘是否为(1)
Code：

int power(int x, int y) {
	int sum = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) sum = (sum * x) % md;
		x = (x * x) % md;
		y >>= 1;
	}
	return sum;
}

补充一下：

有一个定西叫做求逆元一般公式
(x=a/b mod m = x mod (m *b)/b)

简单证明：

(frac{a}{b} mod k = d)
(frac{a}{b}= kx+d)
(a=kbx+bd)
(a mod kb=bd)
(frac{a mod kb}{b}=d)

因为这个式子里有(k*b)需要注意一下他俩很大的时候

还是费马小比较的好写qwq

谢谢收看，住身体健康！