https://www.zybuluo.com/ysner/note/1213485
题面
给一棵有(n)个节点的带边权树，现给出(m)个点对，问将哪条边权改为(0)可使每个点对中最大两点间路径边权和最小。
- (20pts m=1)
- (60pts m,nleq3000)
- (80pts tree->queue)
- (100pts n,nleq3*10^5)
(下面分值中包含上面分值）
解析
第一眼看题发现可以二分，但不知道怎么(check)。。。
于是沦为攻略部分分的咸鱼
(20pts)算法
预处理树的深度(d[n]),再暴跳到(LCA)来找边权最大值(max)即可。
(ans=d[u]+d[v]-2*d[lca]-max)
复杂度(O(n))
(60pts)算法
可以枚举置(0)的那条边，再一一求出两点间距离(要 求(LCA))。
当然，把一条边置(0)时只要把以儿子点为根的子树的点权都减去该边边权即可。
如果以树的重心为根，可以保证复杂度为(O(n^2logn))（求(LCA)和子树减边权都是(O(logn))）
il void dfs1(re int u,re int fa)
{
sz[u]=1;d[u]=d[fa]+1;
f[u]=fa;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
df[v]=df[u]+e[i].w;
dfs1(v,u);
sz[u]+=sz[v];
if(sz[son[u]]<sz[v]) son[u]=v;
}
}
il void dfs2(re int u,re int up)
{
L[u]=++tim;top[u]=up;id[tim]=u;
if(son[u]) dfs2(son[u],up);
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==f[u]||v==son[u]) continue;
dfs2(v,v);
}
R[u]=tim;
}
il int getlca(re int u,re int v)
{
while(top[u]^top[v])
{
if(d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
if(f[top[u]]!=u) u=f[top[u]];
else break;
}
return d[u]<d[v]?u:v;
}
il void ddfs(re int u,re int fa,re int w)
{
df[u]+=w;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
ddfs(v,u,w);
}
}
il void dfs(re int u,re int fa)
{
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
sum=0;
ddfs(v,u,-e[i].w);
fp(o,1,m)
{
re int u=a[o].u,v=a[o].v,lca=getlca(u,v);
sum=max(sum,df[u]+df[v]-2*df[lca]);
}
ans=min(ans,sum);
ddfs(v,u,e[i].w);
dfs(v,u);
}
}
il void getroot(re int u,re int fa)
{
sz[u]=1;dp[u]=0;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
getroot(v,u);
sz[u]+=sz[v];
dp[u]=max(dp[u],sz[v]);
}
dp[u]=max(dp[u],n-dp[u]);
if(dp[u]<dp[rt]) rt=u;
}
il void met1()
{
re int u=gi(),v=gi(),lca=getlca(u,v);
sum+=df[u]+df[v]-2*df[lca];
while(u^lca) {dd=max(dd,df[u]-df[f[u]]);u=f[u];}
while(v^lca) {dd=max(dd,df[v]-df[f[v]]);v=f[v];}
printf("%lld
",sum-dd);
}
il void met2()
{
fp(i,1,m)
{
re int u=gi(),v=gi();
a[i]=(dat){u,v};
}
dfs(1,0);
printf("%lld
",ans);
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
n=gi();m=gi();
fp(i,1,n-1)
{
re int u=gi(),v=gi(),w=gi();
add(u,v,w);add(v,u,w);val[u]=w;
}
getroot(rt=1,0);
dfs1(rt,0);dfs2(rt,rt);
if(m==1) met1();
else if(m<=3000&&n<=3000) met2();
return 0;
}
(80pts)算法
题意显然要求我们二分答案。
怎么(check)呢？怎么看出该把哪条边边权置(0)呢？
我们可以先预处理出所有两点间距离。
此时可以发现有(k)个距离大于(ans)。
那么我们起码要找被这(k)个距离同时经过的边。（没想到这个）
啥，你不知道怎么在树上找？
在该情况下，可以直接用线段树维护边的被经过次数，在此基础上取边权最大值，看最大距离减这个值是否小于等于(ans)后即可。
线段树(O(nlogn))，二分(O(logn))，总复杂度(O(nlog^2n))
（不过如果是要求时间和，可以用线段树维护每条边走了多少次，最后把次数与边权积最大的减掉）
(100pts)算法
可以用树上差分维护边被这(k)个距离经过的次数（当然用点代表该点父边）。
具体是(w[u])++,(w[v])++,(w[lca])-=2。
然后跑(dfs)自下而上统计。
复杂度(O(nlogn))
（我一开始好像是用树的深度求距离）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=5e5+100;
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<1];
struct dat{ll u,v,w,lca;}a[N<<1];
int n,m,cnt,sz[N],d[N],df[N],f[N],w[N],L[N],R[N],top[N],h[N],id[N],son[N],tim,mx,tag[N];
ll sum,ans=1e18,mxx;
il void add(re int u,re int v,re int w)
{
e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;
}
il ll gi()
{
re ll x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il void dfs1(re int u,re int fa)
{
sz[u]=1;d[u]=d[fa]+1;
f[u]=fa;
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
df[v]=df[u]+e[i].w;
dfs1(v,u);
sz[u]+=sz[v];tag[v]=e[i].w;
if(sz[son[u]]<sz[v]) son[u]=v;
}
}
il void dfs2(re int u,re int up)
{
L[u]=++tim;top[u]=up;id[tim]=u;
if(son[u]) dfs2(son[u],up);
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==f[u]||v==son[u]) continue;
dfs2(v,v);
}
R[u]=tim;
}
il int getlca(re int u,re int v)
{
while(top[u]^top[v])
{
if(d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
u=f[top[u]];
}
return d[u]<d[v]?u:v;
}
il void dfs(re int u,re int fa)
{
for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
{
re int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
dfs(v,u);
w[u]+=w[v];
}
if(w[u]==sum&&tag[u]>mx) mx=tag[u];
}
il int check(re ll x)
{
memset(w,0,sizeof(w));
sum=0;mx=0;
fp(i,1,m)
if(a[i].w>x)
{
++sum;
re int u=a[i].u,v=a[i].v,lca=a[i].lca;
++w[u];++w[v];w[lca]-=2;
}
dfs(1,0);
if(mxx-mx>x) return 0;
return 1;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
n=gi();m=gi();
fp(i,1,n-1)
{
re int u=gi(),v=gi(),w=gi();
add(u,v,w);add(v,u,w);
}
dfs1(1,0);dfs2(1,1);
fp(i,1,m)
{
re int u=gi(),v=gi(),lca=getlca(u,v);
a[i]=(dat){u,v,df[u]+df[v]-2*df[lca],lca};
mxx=max(mxx,a[i].w);
}
re ll l=0,r=mxx,ans=0;//printf("%lld
",mxx);
while(l<=r)
{
re int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}