https://zybuluo.com/ysner/note/1109102
逆元求解
费马小定理
假如a是一个整数，b是一个素数，(gcd(a,p)=1),则
(a^{p-1}equiv1(mod(p)))
应用：
- 降次：(a^bmod(p)=a^{(b)mod (p)}mod(p))
- 质数逆元：(frac{1}{a}mod (p)=a^(p-2)mod(p))
欧拉定理
若(n,a)为正整数，且(n,a)互质，则
(a^{phi(n)}equiv 1(mod(n)))
费马小定理是欧拉定理的特殊情况，因为(n)为素数时，(phi(n)=n-1)。
拓欧降次：
- 当(n>1)时,(a^b\%n=a^{b\%phi(n)}\%n)
- 当(bleqphi(n))时，暴算
- 当(b>phi(n))时，(a^b\%n=a^{b\%phi(n)}\%n)
拓欧解方程 - 求解(aequiv 1(mod(q)),x>0)
则x解集为(phi(q))的约数与倍数。
实践
给定(a,p(p>1),gcd(a,p)=1),求(a)在模(p)意义下的逆元。
- 用Exgcd解方程(axequiv 1(mod(p)))
即(ax+by=1)
int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b) x=1,y=0,d=a;
else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
{
re int a;
exgcd(i,p,g,x,y);
while(x<0) x+=p;
printf("%d
",x);
}
- 利用欧拉定理(a^{phi(n)}equiv1(mod(n)))
有式(a^{-1}equiv a^{phi(n)-1}(mod(n))) - n为质数时，费马小定理
(a^{-1}equiv a^{n-2}(mod(n))) - 线性求解
(inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i])
矩阵乘法
struct matrix{
int a[100][100];
matrix()
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
int * operator [](int x)
{
return a[x];
}
matrix operator *(matrix b)
{
matrix c;
for(int i=0;i<l;i++)
for(int j=0;j<l;j++)
for(int k=0;k<l;k++)
c[i][k]=(c[i][k]+1ll*a[i][j]*b[j][k])%w;
return c;
}
}S,T;
高斯消元
[专题总结][1]
组合数学
不可重组合数学（留坑）
- (C^n_m)表示在(m)中选(n)个的方案数。（把(m)个无区别物品放到(n)个有区别篮子的方案数)
(C^m_n=frac{n!}{m!(n-m)!})
(C^m_n=C_{n-1}^{m-1}+C^m_{n-1})
(C^k_n=C^{n-k}_n)
(C^{k+1}_n=C^k_n*frac{n-k}{k+1})
[(a+b)^n=sum^n_{k=0}C_n^k a^{n-k} b^k
]
- (P^n_m)表示在(m)中选(n)个的排列数。（把(m)个有区别物品放到(n)个有区别篮子的方案数）
(P_m^n=C_m^n*n!) - (S^n_m)表示斯特林数。（把(m)个有区别物品放到(n)个无区别篮子，且篮子不空的方案数）
(S_m^n=S_m^{n-1}*m+S_{m-1}^{n-1})
(S_m^n=0(m>n))
可重组合数学
可重排列
有(k)个元素，其中第(i)个元素有(n_i)个，求全排列数。
(P'=frac{(sum_{i=1}^k n_i)!}{n_i!n_2!...n_k!})
即先全排列，然后给每个元素编号。
可重组合
有(k)个元素，每个元素可选无穷多个,一共选(k)个，求方案数。
(C'=C_{k-n+1}^{n-1}=C_{k-n+1}^k)
假如第(i)个元素选(x_i)个，那么原问题变为(x_1+x_2+...+x_n=k)。
令(y_i=x_i+1),那么(y_1+y_2+y_3+...+y_n=k+n)
此时(y>0),即每个元素都要选。所以等于在(k+n)个元素((k+n-1)个空位)间放(n-1)个隔板。
卡特兰数
前几个数：(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 1767263190)
好像我只会用它打表找规律
公式:
(C'[n]=frac{C_{2n}^n}{n+1})
(C'[n]=sum_{i=1}^{n-1} C'^iC'^{n-i})
应用：
- 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
- n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？
- 求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？
- 在圆上选择2n个点，将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交，一共有多少种方法？
- n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数.
- n层的阶梯切割为n个矩形的切法数。
[1]: http://www.cnblogs.com/yanshannan/p/8805546.html