• 离散数学知识点总结(10)-代数系统与群论


    、代数结构

    函数f : A×A→A称作A上的一个二元运算,通常写作〇(a,b)或a〇b

    此时运算表中的每个元素都属于A,称A对f封闭例如Z+对除法运算不封闭(除法不是正整数集合上的二元运算)。

    函数f : A→A称作A上的一个一元运算,通常写作f(a)或fa

    f1~fk是A上的k个运算,则(A, f1f2... , fk)是一个代数结构/代数系统

     二、群论

    半群(S·):集合S非空、运算·对集合S封闭、运算·可结合

      若集合S有限,则一定存在a∈S使得a·a=a

      证明:???(我不会)

    可交换半群:半群(S·)中的运算·满足交换性

    亚群、含幺半群、单元半群、独异点:含有单位元的半群

    群(G·):运算·封闭、运算·可结合、集合G中存在单位元、集合G中任意元素都存在逆元(存在则必唯一)

    可换群/阿贝尔群/Abel群:运算·在G上是可交换的群

    有限群(G中元素个数称为有限群的阶数|G|)和无限群

    平凡群:只包含单一元素e的群,其群运算只有e·e=e,它也是Abel群

    群方程

    若代数系统(G , *)为半群,且G中方程ax=b有唯一解xa=b有唯一解,则(G , *)为群 

    同态与同构  

    群的一些重要性质 

    例题:设(G , *)为群,试证明若|G|=n,则G中阶>2的元素为偶数个

    证明|a|>2时,必然有a≠a-1,否则a2=e|a|≤2

         故G中阶>2的元素a和a-1成对出现,其个数必然为偶数

    循环群 

    置换置换群 

    子群

    假设(G , ·)是一个群,HG(H是G的一个子集

    如果H在G中的运算下也构成一个群,则称(H , ·)是(G , ·)的一个子群记作H≤G 

    H和K都是G的子群时,H∩K还是G的子群;H∪K是G的子群当且仅当HK或KH

    ({e} , ·)和(G , ·)是G的平凡子群;其它子群则是非平凡子群 

    陪集与拉格朗日定理

    设(H , ·)是(G , ·)的一个子群,g∈G

    由g确定的H在G中的左陪集(H关于g的左陪集)为gH={g·h | h∈H}

    由g确定的H在G中的陪集(H关于g的右陪集)为Hg={h·g | h∈H}

    左陪集元素个数|gH|=右陪集元素个数|Hg|=|H|h1≠h2,gh1≠gh2,因此gH和Hg中各元素互异

    左陪集gH和右陪集Hg中,必然都包含了代表元g本身

     

    正规子群与商群 

  • 相关阅读:
    PHP openssl_encrypt函数安全漏洞
    WordPress Organizer插件安全漏洞
    WordPress Poll插件多个SQL注入和安全绕过漏洞
    Redis 重写任意文件漏洞
    WordPress Events Manager插件多个跨站脚本漏洞
    项目建议书编写总结
    www.beihua.edu.cn计划摘录
    《易经》对中华文化的影响
    网站调研资料记录
    积分和排名
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yangyuliufeng/p/10703988.html
Copyright © 2020-2023  润新知