离散数学知识点总结（10）-代数系统与群论

一、代数结构

函数f : A×A→A称作A上的一个二元运算，通常写作〇(a,b)或a〇b。

此时运算表中的每个元素都属于A，称A对f封闭。例如Z⁺对除法运算不封闭（除法不是正整数集合上的二元运算）。

函数f : A→A称作A上的一个一元运算，通常写作f(a)或fa。

f₁~f_k是A上的k个运算，则(A, f₁ , f₂ , ... , f_k)是一个代数结构/代数系统

 二、群论

半群(S, ·)：集合S非空、运算·对集合S封闭、运算·可结合

　　若集合S有限，则一定存在a∈S使得a·a=a

　　证明：？？？（我不会）

可交换半群：半群(S, ·)中的运算·满足交换性

亚群、含幺半群、单元半群、独异点：含有单位元的半群

群(G，·)：运算·封闭、运算·可结合、集合G中存在单位元、集合G中任意元素都存在逆元（存在则必唯一）

可换群/阿贝尔群/Abel群：运算·在G上是可交换的群

有限群（G中元素个数称为有限群的阶数|G|）和无限群

平凡群：只包含单一元素e的群，其群运算只有e·e=e，它也是Abel群

群方程

若代数系统(G , *)为半群，且G中方程ax=b有唯一解、xa=b有唯一解，则(G , *)为群 

同态与同构  

群的一些重要性质 

例题：设(G , *)为群，试证明若|G|=n，则G中阶>2的元素为偶数个

证明：|a|>2时，必然有a≠a^-1，否则a²=e，|a|≤2

 　　  故G中阶>2的元素a和a^-1成对出现，其个数必然为偶数

循环群 

置换与置换群 

子群

假设(G , ·)是一个群，H⊆G（H是G的一个子集）

如果H在G中的运算下也构成一个群，则称(H , ·)是(G , ·)的一个子群，记作H≤G 

H和K都是G的子群时，H∩K还是G的子群；H∪K是G的子群当且仅当H⊆K或K⊆H

({e} , ·)和(G , ·)是G的平凡子群；其它子群则是非平凡子群 

陪集与拉格朗日定理

设(H , ·)是(G , ·)的一个子群，g∈G

由g确定的H在G中的左陪集（H关于g的左陪集）为gH={g·h | h∈H}

由g确定的H在G中的右陪集（H关于g的右陪集）为Hg={h·g | h∈H}

左陪集元素个数|gH|=右陪集元素个数|Hg|=|H|（h₁≠h₂时，gh₁≠gh₂，因此gH和Hg中各元素互异）

左陪集gH和右陪集Hg中，必然都包含了代表元g本身

 

正规子群与商群