• 离散数学知识点总结(7)-格


    一、格

    假设(L, ≤)为偏序集,如果对于任意 a, b∈L ,{a, b} 都存在上确界和下确界,则称 (L, ≤) 为一个格(lattice)

    显然上确界和下确界有唯一性

    上确界LUB({a, b})记作a∨b,称之为a与b的并(join)

    下确界GLB({a, b})记作a∧b,称之为a与b的交(meet) 

    举例:对任意a, b∈L,a≤b

    序集(A , ≤)必然是格a∨b=ba∧b=a

    (Z+, |)是一个格a∨b=LCM(a , b)a∧b=GCD(a , b)

    (P(S) , )是一个格(幂集格),a∨b=a∪ba∧b=a∩b

    恒等关系IS是偏序关系,但(S , IS)不是格如果偏序集中存在孤立顶点,一定不会构成格)

    a∨b=b  a≤b  a∧b=a因此≤关系实际可用∨和∧来表示(L , ≤)可记作(L∨ , ∧

    对任意a, b, c∈L,显然有:

    1)幂等律:a∨a=a∧a=a

    2交换律a∨b=b∨aa∧b=b∧a

    3)结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c)(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

    4)吸收律:a∨(a∧b)=a∧(a∨b)=a

    但是格中运算不满足分配律a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)

    格的等价定义设<S , * , >是具有两个二元运算的代数系统,且对于*和都满足交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序关系≤,使得(S , ≤)是格,此时a , b∈S都有a∧b=a*ba∨b=ab

    证明:由吸收律a=a(a*b)=a*(ab)可以推得幂等律a*a=a*(a(a*a))=a,同理a○a=a

       定义二元关系R当ab=b时(a , b)∈R,R是S上的偏序关系

        自反性:a∈S都有a○a=a(a , a)∈R

        反对称性:aRb且bRa ab=b=ba=a

        传递性:aRb且bRc ⟹ ab=b且bc=c bc=c=(ab)c=a(bc)=aaRc

        偏序关系R还可以表述为当a*b=a时(a , b)∈R

        若ab=b则a*b=a*(ab)=a,若a*b=a则ab=(a*b)b=b(b*a)=b,从而有ab=b a*b=a a≤b  

          a , b∈S,a○(ab)=(aa)b=abb(ab)=a(bb)=ab,从而有a≤ab,b≤a○b,故a○b就是{a , b}的上界

         设c也是{a , b}的上界,a○c=bc=c(ab)c=a(bc)=ac=c,从而有a○b≤c,故a○b就是{a , b}最小上界

          a , b∈S(a*b)*a=(a*a)*b=a*b(a*b)*b=a*(b*b)=a*b,从而有a*b≤aa*b≤b,故a*b就是{a , b}的下界

         设d也是{a , b}的下界d*a=d*b=dd*(a*b)=(d*a)*c=d*c=d,从而有d≤a*b,故a*b就是{a , b}最大下界

    此外,格还具有保序性:

    1ab时a∧cb∧ca∨cb∨c

    2ab且cd时a∧cb∧da∨cb∨d

    3ac且b a∨bc

    4ca且c c≤a∧b

    子格:SL,对任意a, b∈S有a∨b , a∧b∈S,则称S是L的一个子格

    例如:n|m时(Dn, |)是(Dm, |)的子格

      取D30的一部分6∧15=3不在S中,故不构成子格 

    、布尔代数

    格(L∨ , ∧)如果满足a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∧c)a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)那么L是分配格(两个等式成立一个,另一个一定成立)

    全上界/全下界:若存在a∈L使得x∈S有x≤a / a≤xa就是L的全上界/全下界

    格L中存在全上界和全下界时,称为有界格。此时全下界记为0,全上界记为1

    有限格一定存在全上界(所有元素的)和全下界(所有元素的),因此一定是有界格

    设(L∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0且a∨b=1,则a与b互为补元,定义'为求补运算

    有界分配格中,a的补元若存在则必唯一

    证明:假设a存在两个补元b和ca∧b=a∧c=0a∨b=a∨c=1

     b=b∧(b∨a)=b∧(c∨a)=(b∧c)∨(b∧a)=(b∧c)∨(c∧a)=(b∨a)∧c=(a∨c)∧c=c

    设(L∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格,a∈L,在L中都有补元存在,L是有补格(L∨ , ∧ , ' , 0 , 1)

    布尔格/布尔代数/有补分配格:每个元素都存在着唯一的补格

    例如S的幂集格(P(S) , ∩ , ∪ , ~ , , S)构成布尔代数(幂集代数)

     数理逻辑中的命题代数、数字电路中的逻辑代数都是布尔代数

    布尔代数中有双重否定律(a')'=a

          德摩根律(a∨b)'=a'∧b'(a∧b)'=a'∨b'

    b∈L,都有0<b≤a b=a,则a是L中的原子

    例如若L是正整数n的全体正因子关于整除关系构成的格,L的原子就是n的全体素因子

    例如若L是集合B的幂集格,L的原子就是B中单个元素构成的单元集

    若L是有限布尔代数,A是L的全体n个原子构成的集合,则A的幂集代数P(A)与L同构|A|=n|P(A)|=|L|=2n

    任何等势的有限布尔代数都是同构的;任何有限布尔代数的基数都是2的幂

    因此在同构的意义上,对于2的任意次幂,仅存在一个2n元的布尔代数

  • 相关阅读:
    面向领域的微服务架构
    java常用工具类
    java字节码解析
    详解 Java 内部类
    MongoDB配置教程
    oracle18c相关
    VBS编辑文件夹下所有excel文档
    oracle新增主键
    sqlldr加载字符问题
    ora-00257
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yangyuliufeng/p/10680700.html
Copyright © 2020-2023  润新知