一、格
假设(L, ≤)为偏序集,如果对于任意 a, b∈L ,{a, b} 都存在上确界和下确界,则称 (L, ≤) 为一个格(lattice)
显然上确界和下确界有唯一性
上确界LUB({a, b})记作a∨b,称之为a与b的并(join)
下确界GLB({a, b})记作a∧b,称之为a与b的交(meet)
举例:对任意a, b∈L,a≤b
全序集(A , ≤)必然是格,a∨b=b,a∧b=a
(Z+, |)是一个格,a∨b=LCM(a , b),a∧b=GCD(a , b)
(P(S) , ⊆)是一个格(幂集格),a∨b=a∪b,a∧b=a∩b
恒等关系IS是偏序关系,但(S , IS)不是格(如果偏序集中存在孤立顶点,一定不会构成格)
a∨b=b a≤b a∧b=a,因此≤关系实际可用∨和∧来表示,(L , ≤)可记作(L, ∨ , ∧)
对任意a, b, c∈L,显然有:
(1)幂等律:a∨a=a∧a=a
(2)交换律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a
(3)结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(4)吸收律:a∨(a∧b)=a∧(a∨b)=a
但是格中运算不满足分配律:a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
格的等价定义:设<S , * , ○>是具有两个二元运算的代数系统,且对于*和○都满足交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序关系≤,使得(S , ≤)是格,此时∀a , b∈S都有a∧b=a*b,a∨b=a○b
证明:由吸收律a=a○(a*b)=a*(a○b)可以推得幂等律a*a=a*(a○(a*a))=a,同理a○a=a
定义二元关系R,当a○b=b时(a , b)∈R,R是S上的偏序关系
自反性:∀a∈S都有a○a=a,(a , a)∈R
反对称性:aRb且bRa ⟺a○b=b=b○a=a
传递性:aRb且bRc ⟹ a○b=b且b○c=c ⟹b○c=c=(a○b)○c=a○(b○c)=a○c ⟹aRc
偏序关系R还可以表述为,当a*b=a时(a , b)∈R
若a○b=b则a*b=a*(a○b)=a,若a*b=a则a○b=(a*b)○b=b○(b*a)=b,从而有a○b=b ⟺a*b=a ⟺a≤b
a , b∈S,a○(a○b)=(a○a)○b=a○b,b○(a○b)=a○(b○b)=a○b,从而有a≤a○b,b≤a○b,故a○b就是{a , b}的上界
设c也是{a , b}的上界,a○c=b○c=c,(a○b)○c=a○(b○c)=a○c=c,从而有a○b≤c,故a○b就是{a , b}最小上界
a , b∈S,(a*b)*a=(a*a)*b=a*b,(a*b)*b=a*(b*b)=a*b,从而有a*b≤a,a*b≤b,故a*b就是{a , b}的下界
设d也是{a , b}的下界,d*a=d*b=d,d*(a*b)=(d*a)*c=d*c=d,从而有d≤a*b,故a*b就是{a , b}最大下界
此外,格还具有保序性:
(1)a≤b时,a∧c≤b∧c,a∨c≤b∨c
(2)a≤b且c≤d时,a∧c≤b∧d,a∨c≤b∨d
(3)a≤c且b≤c a∨b≤c
(4)c≤a且c≤b c≤a∧b
子格:S⊆L,对任意a, b∈S有a∨b , a∧b∈S,则称S是L的一个子格
例如:n|m时,(Dn, |)是(Dm, |)的子格
取D30的一部分,6∧15=3不在S中,故不构成子格
二、布尔代数
格(L, ∨ , ∧)如果满足a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∧c),a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),那么L是分配格(两个等式成立一个,另一个一定成立)
全上界/全下界:若存在a∈L使得∀x∈S有x≤a / a≤x,a就是L的全上界/全下界
格L中存在全上界和全下界时,称为有界格。此时全下界记为0,全上界记为1
有限格一定存在全上界(所有元素的∨)和全下界(所有元素的∧),因此一定是有界格
设(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0且a∨b=1,则a与b互为补元,定义'为求补运算
有界分配格中,a的补元若存在则必唯一
证明:假设a存在两个补元b和c,a∧b=a∧c=0,a∨b=a∨c=1
b=b∧(b∨a)=b∧(c∨a)=(b∧c)∨(b∧a)=(b∧c)∨(c∧a)=(b∨a)∧c=(a∨c)∧c=c
设(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格,∀a∈L,在L中都有补元存在,L是有补格(L, ∨ , ∧ , ' , 0 , 1)
布尔格/布尔代数/有补分配格:每个元素都存在着唯一的补格
例如:S的幂集格(P(S) , ∩ , ∪ , ~ , ∅, S)构成布尔代数(幂集代数)
数理逻辑中的命题代数、数字电路中的逻辑代数都是布尔代数
布尔代数中有:双重否定律(a')'=a
德摩根律(a∨b)'=a'∧b',(a∧b)'=a'∨b'
∀b∈L,都有0<b≤a ⟺b=a,则a是L中的原子
例如若L是正整数n的全体正因子关于整除关系构成的格,L的原子就是n的全体素因子
例如若L是集合B的幂集格,L的原子就是B中单个元素构成的单元集
若L是有限布尔代数,A是L的全体n个原子构成的集合,则A的幂集代数P(A)与L同构,|A|=n,|P(A)|=|L|=2n
任何等势的有限布尔代数都是同构的;任何有限布尔代数的基数都是2的幂
因此在同构的意义上,对于2的任意次幂,仅存在一个2n元的布尔代数