A可逆的充分必要条件：
|A| != 0
存在有限个初等矩阵，P1、P2、...、Pl，使得A = P1*P2*...*Pl
A ~r~ E
秩的性质，
① 0 ≤ R(Am×n) ≤ min(m, n).
② R(AT) = R(A).
③ 若A～B，则R(A) = R(B).
④ 若P、Q 可逆，则R(PAQ) = R(A).
⑤(拼接) max(R(A)，R(B)) ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B)，特别地，当B = b 为非零列向量量时，有R(A) ≤ R(A，b) ≤ R(A) + 1.
⑥(加法) R(A + B) ≤ R(A) + R(B).
⑦(乘法) R(AB) ≤ min( R(A), R(B) ).
⑧ 若Am×nBn×l = O，则R(A) + R(B) ≤ n.
七大定理：
1. 设A与B为m×n矩阵，那么
i) A ~r~ B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA = B；
ii) A ~c~ B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ = B；
iii) A ~ B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ = B.
推论：方阵A可逆的充分必要条件是A ~c~ E.
引理：设A ~r~ B，则A与B中非零子式的最高阶相等。
2. 若A ~ B，则R(A) = R(B).
推论：若可逆矩阵P、Q使PAQ = B，则R(A) = R(B).
3. n元线性方程组Ax = b，则
i) 无解的充分必要条件是R(A) < R(A, b);
ii) 有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A, b) = n;
iii) 有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A, b) < n;
4. n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是R(A) < n.
5. 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A) = R(A, b).
6. 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R(A, B).
7. 设AB = C，则R(C) ≤ min{ R(A), R(B) }.
1. 矩阵的初等变换
用消元法和矩阵的初等行变换都能求解。
下面是矩阵初等变换的最后两步，
初等矩阵，
性质2的必要性没看明白？？
定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法. 下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.
一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。
反而不如直接求解方便。。
2. 矩阵的秩
矩阵的秩和张量的秩不是一个概念。
非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.
证明略.
求秩，
例5中的初等行变换步骤不是漫无目的的，而是为了消元。
1 3, 2, 0, 5, 0 2 3,-2, 3, 6,-1 3 2, 0, 1, 5,-3 4 1, 6,-4,-1, 4 5 6 1, 6,-4,-1, 4 # r1<->r2，x1的系数为1 7 0,-4, 3, 1,-1 # r2-r4把x1消掉，为了构造阶梯形才采用r2-r4，而不是r4-r2 8 0,-12,9, 7,-11 # r3-2r1也是消掉x1 9 0,-16,12,8,-12 # r4-3r1消掉x1 10 11 1, 6,-4,-1, 4 12 0,-4, 3, 1,-1 13 0, 0, 0, 4,-8 # r3-3r2求出一个x4 14 0, 0, 0, 4,-8 # r4-4r2也求出一个x4 15 16 1, 6,-4,-1, 4 17 0,-4, 3, 1,-1 18 0, 0, 0, 4,-8 19 0, 0, 0, 0, 0 # r4-r3得全零行 20 # 求得x4=-2，代入r2、r1，可以发现两个方程有三个未知数 21 # 行阶梯形矩阵种非零行的行数也是唯一确定的 22 23 # 对于任何非零矩阵，总可经有限次初等变换把它变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 24 # 算啦，不搞了
后面还有两个例题。。。
3. 线性方程组的解
线性方程组(3)如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容. 利用系数矩阵A 和增广矩阵B = (A，b) 的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解(即是否相容)以及有解时解是否惟一等问题.
