数据结构基础(一)数组，矩阵

数据结构基础(一)

有一个等式，数据结构+算法=程序,说明了数据结构对于计算机程序设计的重要性。数据结构是指数据元素的集合(或数据对象)及元素间的相互关系和构造方法。数据对象中元素之间的相互关系称为数据的逻辑结构，数据元素及元素之间关系的存储形式称为存储结构(或物理结构)。

数据结构按照逻辑关系的不同，分为线性结构和非线性结构两种，线性结构又可分为树结构和图结构。

 

1.1 数组

1.数组的定义和基本运算

 数组是程序中最常用的数据结构，数组的本质是内存中一段大小固定，地址连续的存储单元。

一维数组是一个长度固定，下标有序的线性序列。二位数组则是一个矩阵结构，本质上是以数组作为数组元素的数组，即“数组的数组”。以二维数组A[m,n]为例，其结构如图2-1所示：

 

A[m,n]可以看做一个行向量形式的线性序列：

Am,n =[[a11,a12…a1n],[ a21,a22…a2n],…,[ am1,am2…amn]];

也可以看做一个列向量形式的线性序列

Am,n =[[a11,a21…am1],[ a12,a22…am2],…,[ a1n,a2n…amn]];

                       二维数组的本质是一维数组的数组

数组的结构特点：

数组元素数目固定，一旦定义不可改变。

数组中的元素具有相同的类型。

数组下标具有上下界的约束且有序。

数组的两个基本运算：

给定一组下标，存取相应的数据元素。

给定一组下标，更改相应元素的值。

 在程序设计语言中，把数组看做是具有共同名字的相同类型的多个变量的集合。

2．  数组元素的存储

 

数组适合采用顺序存储结构，对于数组一旦确定了其维数和各维的长度，便可分配存储空间。所以，只要给出一组下标便可求出相应数组元素的存储位置，在数组的顺序存储结构中，数组元素的位置和其下标呈线性关系。

      二维数组的存储结构可分为以行为主存储和以列为主存储两种方式

 

设每个数组元素占用L个单元，m,n为数组的行数和列数，Loc(a11)表示元素a11的地址，

        以行为主：

                       Loc(aij)=Loc(a11)+(i-1) ×n+(j-1) ×L

       以列为主：

                        Loc(aij)=Loc(a11)+(j-1) ×m+(i-1) ×L

推广至多维数组，按下标顺序(以行为主)存储时，先排最右的下标，从右至左到最左下标，而逆下标顺序正好相反。

 

3.矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1]  ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。在数据结构中，主要讨论如何在节省存储空间的前提下，正确高效的运算矩阵。

在实际应用中，经常出现一些阶数很高的矩阵，同时在矩阵中有很多值相同的元素并且它们的分布有一定的规律——称为特殊矩阵（special matrix），对称矩阵就是其中一种。对称矩阵的特点是：在一个n阶方阵中，有aij=aji(1≤i，j≤n)。可以对这类矩阵进行压缩存储，从而节省存储空间，并使矩阵的各种运算能有效进行。

(1) 对称矩阵

     对称矩阵关于主对角线对称，因此只需存储下三角部分（包括主对角线）即可。这样，原来需要存储n×n个存储单元，现在只需要n×(n+1)/2个存储单元，节约了大约一半的存储单元。当n较大时，这是比较可观的一部分存储单元。

如何只存储下三角部分的元素呢？由于下三角中共有n×(n+1)/2个元素，可将这些元素按行存储到一个数组SA[n(n+1)/2]中。这样，下三角中的元素aij(i≥j)存储到SA[k]中，在数组SA中的下标k和i、j的关系为：k=i×(i-1)/2+j-1，寻址的计算方法如图所示。

Java代码实现对称矩阵存储压缩：

 

package top.yxy.xs;

/**
 * 稀疏矩阵的压缩存储
 * 
 * 稀疏矩阵三元组顺序表
 * 
 * 三元组顺序存储的稀疏矩阵类
 * 
 * @author clarck
 * 
 */
public class SeqSparseMatrix {
    // 矩阵行数、列数
    private int rows, columns;

    // 稀疏矩阵三元组顺序表
    private SeqList<Triple> list;

    /**
     * 构造rows行，colums列零矩阵
     * 
     * @param rows
     * @param columns
     */
    public SeqSparseMatrix(int rows, int columns) {
        if (rows <= 0 || columns <= 0)
            throw new IllegalArgumentException("矩阵行数或列数为非正数");

        this.rows = rows;
        this.columns = columns;
        // 构造空顺序表，执行SeqList()构造方法
        this.list = new SeqList<Triple>();
    }

    public SeqSparseMatrix(int rows, int columns, Triple[] elems) {
        this(rows, columns);
        // 按行主序插入一个元素的三元组
        for (int i = 0; i < elems.length; i++)
            this.set(elems[i]);
    }

    /**
     * 返回矩阵第i行第j列元素，排序顺序表的顺序查找算法，O(n)
     * 
     * @param i
     * @param j
     * @return
     */
    public int get(int i, int j) {
        if (i < 0 || i >= rows || j < 0 || j >= columns)
            throw new IndexOutOfBoundsException("矩阵元素的行或列序号越界");

        Triple item = new Triple(i, j, 0);
        int k = 0;
        Triple elem = this.list.get(k);
        // 在排序顺序表list中顺序查找item对象
        while (k < ((CharSequence) this.list).length() && item.compareTo(elem) >= 0) {
            // 只比较三元组元素位置，即elem.row == i && elem.column == j
            if (item.compareTo(elem) == 0)
                return elem.value;
            // 查找到(i, j), 返回矩阵元素
            k++;
            elem = ((Object) this.list).get(k);
        }
        return 0;
    }

    /**
     * 以三元组设置矩阵元素
     * 
     * @param elem
     */
    public void set(Triple elem) {
        this.set(elem.row, elem.colum, elem.value);
    }

    /**
     * 设置矩阵第row行第column列的元素值为value，按行主序在排序顺序表list中更改或插入一个元素的三元组， O(n)
     * 
     * @param row
     * @param column
     * @param value
     */
    public void set(int row, int column, int value) {
        // 不存储值为0元素
        if (value == 0)
            return;

        if (row >= this.rows || column >= this.columns)
            throw new IllegalArgumentException("三元组的行或列序号越界");

        Triple elem = new Triple(row, column, value);
        int i = 0;
        // 在排序的三元组顺序表中查找elem对象，或更改或插入
        while (i < this.list.length()) {
            Triple item = this.list.get(i);
            // 若elem存在，则更改改位置矩阵元素
            if (elem.compareTo(item) == 0) {
                // 设置顺序表第i个元素为elem
                this.list.set(i, elem);
                return;
            }

            // elem 较大时向后走
            if (elem.compareTo(item) >= 0)
                i++;
            else
                break;
        }
        this.list.insert(i, elem);
    }

    @Override
    public String toString() {
        String str = "三元组顺序表：" + this.list.toString() + "
";
        str += "稀疏矩阵" + this.getClass().getSimpleName() + "(" + rows + " * "
                + columns + "): 
";
        int k = 0;
        // 返回第k个元素，若k指定序号无效则返回null
        Triple elem = this.list.get(k++);
        for (int i = 0; i < this.rows; i++) {
            for (int j = 0; j < this.columns; j++)
                if (elem != null && i == elem.row && j == elem.colum) {
                    str += String.format("%4d", elem.value);
                    elem = this.list.get(k++);
                } else {
                    str += String.format("%4d", 0);
                }
            str += "
";
        }
        return str;
    }

    /**
     * 返回当前矩阵与smat相加的矩阵， smatc=this+smat,不改变当前矩阵，算法同两个多项式相加
     * 
     * @param smat
     * @return
     */
    public SeqSparseMatrix plus(SeqSparseMatrix smat) {
        if (this.rows != smat.rows || this.columns != smat.columns)
            throw new IllegalArgumentException("两个矩阵阶数不同，不能相加");

        // 构造rows*columns零矩阵
        SeqSparseMatrix smatc = new SeqSparseMatrix(this.rows, this.columns);
        int i = 0, j = 0;
        // 分别遍历两个矩阵的顺序表
        while (i < this.list.length() && j < smat.list.length()) {
            Triple elema = this.list.get(i);
            Triple elemb = smat.list.get(j);

            // 若两个三元组表示相同位置的矩阵元素，则对应元素值相加
            if (elema.compareTo(elemb) == 0) {
                // 相加结果不为零，则新建元素
                if (elema.value + elemb.value != 0)
                    smatc.list.append(new Triple(elema.row, elema.colum,
                            elema.value + elemb.value));

                i++;
                j++;
            } else if (elema.compareTo(elemb) < 0) { // 将较小三元组复制添加到smatc顺序表最后
                // 复制elema元素执行Triple拷贝构造方法
                smatc.list.append(new Triple(elema));
                i++;
            } else {
                smatc.list.append(new Triple(elemb));
                j++;
            }
        }

        // 将当前矩阵顺序表的剩余三元组复制添加到smatc顺序表最后
        while (i < this.list.length())
            smatc.list.append(new Triple(this.list.get(i++)));

        // 将smat中剩余三元组复制添加到smatc顺序表最后
        while (j < smatc.list.length()) {
            Triple elem = smat.list.get(j++);
            if (elem != null) {
                smatc.list.append(new Triple(elem));
            }
        }

        return smatc;
    }

    /**
     * 当前矩阵与smat矩阵相加，this+=smat, 改变当前矩阵，算法同两个多项式相加
     * 
     * @param smat
     */
    public void add(SeqSparseMatrix smat) {
        if (this.rows != smat.rows || this.columns != smat.columns)
            throw new IllegalArgumentException("两个矩阵阶数不同，不能相加");

        int i = 0, j = 0;
        // 将mat的各三元组依次插入(或相加)到当前矩阵三元组顺序表中
        while (i < this.list.length() && j < smat.list.length()) {
            Triple elema = this.list.get(i);
            Triple elemb = smat.list.get(j);

            // 若两个三元组表示相同位置的矩阵元素，则对应元素值相加
            if (elema.compareTo(elemb) == 0) {
                // 相加结果不为0,则新建元素
                if (elema.value + elemb.value != 0)
                    this.list.set(i++, new Triple(elema.row, elema.colum,
                            elema.value + elemb.value));
                else
                    this.list.remove(i);
                j++;
            } else if (elema.compareTo(elemb) < 0) { // 继续向后寻找elemb元素的插入元素
                i++;
            } else {
                // 复制elemb元素插入作为this.list的第i个元素
                this.list.insert(i++, new Triple(elemb));
                j++;
            }
        }

        // 将mat中剩余三元组依次复制插入当前矩阵三元组顺序表中
        while (j < smat.list.length()) {
            this.list.append(new Triple(smat.list.get(j++)));
        }
    }

    // 深拷贝
    public SeqSparseMatrix(SeqSparseMatrix smat) {
        this(smat.rows, smat.columns);
        // 创建空顺序表，默认容量
        this.list = new SeqList<Triple>();
        // 复制smat中所有三元组对象
        for (int i = 0; i < smat.list.length(); i++)
            this.list.append(new Triple(smat.list.get(i)));
    }

    /**
     * 比较两个矩阵是否相等
     */
    public boolean equals(Object obj) {
        if (this == obj)
            return true;

        if (!(obj instanceof SeqSparseMatrix))
            return false;

        SeqSparseMatrix smat = (SeqSparseMatrix) obj;
        return this.rows == smat.rows && this.columns == smat.columns
                && this.list.equals(smat.list);
    }
    
    /**
     * 返回转置矩阵
     * @return
     */
    public SeqSparseMatrix transpose() {
        //构造零矩阵，指定行数和列数
        SeqSparseMatrix trans = new SeqSparseMatrix(columns, rows);
        for (int i = 0; i < this.list.length(); i++) {
            //插入矩阵对称位置元素的三元组
            trans.set(this.list.get(i).toSymmetry());
        }
        return trans;
    }
    
}

(2)稀疏矩阵

在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵。稀疏矩阵常使用三元组存储法，三元组表示法就是在存储非零元的同时，存储该元素所对应的行下标和列下标。稀疏矩阵中的每一个非零元素由一个三元组(i,j,aij)唯一确定。矩阵中所有非零元素存放在由三元组组成的数组中。

 

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