Splay讲解

Splay讲解

　　Splay是平衡树的一种，是一种二叉搜索树，我们先讲解一下它的核心部分。

　　Splay的核心部分就是splay，可能有些人会说什么鬼？这样讲解是不是太不认真了？两个字回答：不是。第一个Splay是算法名称，而第二个splay是一个函数，如果说是一个函数，还不如说是两个函数，splay和rotate。下面开始讲解：

rotate

　　Splay最重要的部分就是两种基本旋转：zig，zag。本人在此理解的zig是左旋而zag是右旋。学过Treap的人可能会想到Treap的左右两旋，那两个旋转和这两个旋转是不一样的，Treap的旋转是讲自己的儿子旋上来，而Splay的旋转是将自己旋到父亲上去，两者的本质是不同的。

　　首先先讲解zag：我们要旋转的时候，一定会用到当前节点的父亲，所以我们需要存一个父亲数组，来记录当前节点的父亲是谁。当然我们还需要记录儿子是谁——左右两个儿子。现在就可以开始旋转了，如图（将B号节点旋到他的父亲A号节点的上方），是不是和treap的右旋十分相像？就是treap的右旋是在A号节点完成的，而zag是在B号节点完成的。

void zag(int p)
{
    int tmp=fa[p],tmp2=fa[tmp];
    lson[tmp]=rson[p],fa[rson[p]]=tmp;
    rson[p]=tmp,fa[tmp]=p,fa[p]=tmp2;
    if(lson[tmp2]==tmp) lson[tmp2]=p;
    else rson[tmp2]=p;
    update(tmp),update(p);
}

　　同理，zig就十分简单了，如图（将A号节点旋到他的父亲B号节点的上方）。

void zig(int p)
{
    int tmp=fa[p],tmp2=fa[tmp];
    rson[tmp]=lson[p],fa[lson[p]]=tmp;
    lson[p]=tmp,fa[tmp]=p,fa[p]=tmp2;
    if(lson[tmp2]==tmp) lson[tmp2]=p;
    else rson[tmp2]=p;
    update(tmp),update(p);
}

　　这就是zig和zag两种旋转，但我们大家仔细思考一下，这两个旋转的代码基本一致，是不是可以合成一个函数？答案是可以。我们开一个数组，为son[p][2]，这个数组的含义就是p号节点的左右两个儿子，son[p][0]表示p号节点的左儿子，而son[p][1]表示p号节点的右儿子。这样我们进行旋转就十分方便了，我们进行一次check看我要左旋还是右旋就可以了，我们可以写一个chek函数返回值就是0和1，这样的话直接把返回值放在第二维就好了。

bool check(int p)
{
    return p==son[fp][1];
}
void rotate(int p)
{
    int tmp=fp;
    int tmp2=ftp;
    int tmp3;
    check(p)?tmp3=1:tmp3=0;
    fa[son[tmp][tmp3]=son[p][tmp3^1]]=tmp;
    fa[p]=tmp2;
    if(tmp2) son[tmp2][check(tmp)]=p;
    fa[son[p][tmp3^1]=tmp]=p;
    update(tmp),update(p);
}

　　旋转rotate讲解完毕，有问题可以发评论，我会解答。下面讲解splay，splay的功能就是将当前节点旋转到顶点，实际上就是一个循环。旋转一共有六种组合，下面我会逐个解释。

splay

　　第一种：当前节点直接就是根节点左儿子，直接zag就好啦。同理第二种：当前节点是根节点的右儿子，直接zig。

　　第三种（如左一图）：我们需要先将当前节点的父亲旋转上去，再将自己旋转上去，就是先zag（父亲），再zag（自己）。同理第四种（如左二图）：先zig（父亲），再zig（自己）。

　　第五种（入右二图）：我们需要先将当前节点旋转上去，再讲他的父亲旋转上去，就是先zig（自己），再zag（父亲）。同理第六种（如右一图）：先zag（自己），再zig（父亲）。

　　每次旋转的时候我们需要check一下具体实现比较简单。下面的代码是写的将当前节点旋转到指定的节点也就是所写（order），这样写的原因下面会说。

void splay(int p,int &order)
{
    int tmp2=fa[order];
    for(int tmp;(tmp=fp)!=tmp2;rotate(p))
        if(ftp!=tmp2)
            rotate(check(p)==check(tmp)?tmp:p);
　　order=p;
}

　　splay也讲解完毕，不会的也可以发评论问我。

区间操作

　　最后讲解一下splay比treap多出的操作，就是区间操作。这也就是为什么像上面那样书写代码，我们如果要对权值为[x,y]的这个区间进行操作，我们可以查找到x-1这个值的节点，将其旋转到root，再找到y+1这个值的节点，将其旋转到root的右儿子上。旋转之后，根据BST的性质，我们可以知道root的右儿子的左子树就是我们要的区间，直接进行操作就好啦，是不是很简单？

　　问题依旧可以发到评论之中。