有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞，电学中的放电，闪电雷击等，它们都有共同的特点：
1）持续时间短
2）取值极大
可以用脉冲函数极限定义冲激信号，形式如下：
$$delta(t) = lim_{ au ightarrow 0}frac{1}{ au}left [ u(t + frac{ au}{2}) - u(t - frac{ au}{2}) ight ]$$
脉冲函数如下图所示
上图所示的矩形脉冲，宽度为 $ au$，高度为 $frac{1}{ au}$，冲击函数是上述脉冲处于极限状态下的函数，即
$$ au
ightarrow 0 \
frac{1}{ au}
ightarrow infty \
p(t)
ightarrow delta(t)$$
对 $delta(t)$ 有
$$delta(t) = left{egin{matrix}
infty, & t = 0\
0, & t
eq 0
end{matrix}
ight.$$
可见 $delta(t)$ 只在 $t = 0$ 时有冲击，在 $t = 0$ 以外的各处函数值均为 $0$。设这个矩形的面积为 $A$，当 $A = 1$ 时，称为单位冲击信号，即：
$$int_{-infty}^{+infty}delta(t)dt = 1$$
单位冲击信号的性质：
1）函数 $delta(t)$ 是一个偶函数，即
$$delta(t) = delta(-t)$$
2）抽样性：利用 $delta(t)$ 只在 $0$ 处有冲击得
$$int_{-infty}^{+infty}f(t)delta(t - t_{0})dt = f(t_{0}) \
f(t)delta(t - t_{0}) = f(t_{0})delta(t - t_{0})$$
3）尺度变换：函数 $delta(at)$ 相当于上面的矩形脉冲宽度发生了变化，而高度不变。观察下面两个图像：
从图像可以看出，两个矩形的高一样，但底部宽度不同，面积不同，在 $ au$ 趋于 $0$ 的过程中，矩形的面积保持不变，即左图矩形面积恒为 $1$，
右图的面积恒为 $frac{1}{|a|}$，也就是说，当两个矩形底部相同的时候，因为面积差 $frac{1}{|a|}$ 倍，即矩形的高差 $frac{1}{|a|}$ 倍，因为最终底部宽度都会趋于相等，
即都是 $0$，所以函数值(矩形的高)会差 $frac{1}{|a|}$ 倍，即
$$delta(at) = frac{1}{|a|}delta(t)$$
任何一个信号都可以分解为冲击信号之和，如下图
一条曲线可以由折线近似表示，用门信号来限定区间，函数值代表幅度，则有
$$f(t) approx f(0) ig[ u(t) - u(t - Delta t) ig] + f(Delta t)ig[ u(t - Delta t) - u(t - 2 Delta t) ig] + cdots f(kDelta t)ig[ u(t - kDelta t) - u(t - (k + 1)Delta t) ig] + cdots \
= sum_{k = 0}^{+infty}f(kDelta t)ig[ u(t - kDelta t) - u(t - (k + 1)Delta t) ig]$$
所以
$$f(t) = lim_{Delta t ightarrow 0}sum_{k = 0}^{+infty}f(kDelta t)ig[ u(t - kDelta t) - u(t - (k + 1)Delta t) ig]$$
上面的求和形式和定积分很像，现在做一个变换
$$f(t) = lim_{Delta t
ightarrow 0}sum_{k = 0}^{+infty}f(kDelta t)ig[ u(t - kDelta t) - u(t - (k + 1)Delta t) ig] \
= lim_{Delta t
ightarrow 0}sum_{k = 0}^{+infty}f(kDelta t)frac{u(t - kDelta t) - u(t - (k + 1)Delta t)}{Delta t}Delta t \
= int_{0}^{+infty}f( au)delta(t - au)d au$$
这是无穷区间求和。$kDelta t$ 表示区间 $kDelta t, (k+1)Delta t$ 的左端点(区间内一点)，$Delta t$ 表示区间长度，那么取极限后就是定积分。
线性系统具备以下两个条件;
1）叠加性：指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；
2）齐次性：是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。
一个冲击信号经过线性系统便得到冲击响应，如下图
根据线性系统的性质有
$$delta_{1} (t)
ightarrow g_{1}(t) \
delta_{2} (t)
ightarrow g_{2}(t) \
kdelta_{1} (t)
ightarrow kg_{1}(t) \
sdelta_{2}(t)
ightarrow sg_{2}(t) \
kdelta_{1}(t) + sdelta_{2}(t)
ightarrow kg_{1}(t) + sg_{2}(t)$$