支持向量机是一种二分类模型，它的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，分割的原则是间隔最大化，最终转化为一个凸二次规划问题来求解。
模型包括以下几类：
-
当训练样本线性可分时，通过硬间隔最大化，学习一个线性可分支持向量机；
-
当训练样本近似线性可分时，通过软间隔最大化，学习一个线性支持向量机；
-
当训练样本线性不可分时，通过核技巧和软间隔最大化，学习一个非线性支持向量机；
- 序列最小最优化算法 $SMO$;
阅读本篇之前，可先阅读上面的前 $3$ 篇博客。
$SMO$ 算法要解决的就是如下凸二次规划问题(其中 $C$ 是惩罚系数)：
$$min_{alpha } ; frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}alpha_{i}alpha_{j}y_{i}y_{j}K(x_{i},x_{j}) -sum_{i=1}^{n}alpha_{i} \
s.t. ;;; sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i} = 0 \
0 leq alpha_{i} leq C, ; i = 1,2,cdots,n$$
假如求出了这个问题的最优解 $alpha = (alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{n})$，可以看出，有多少个样本点，向量 $alpha$ 就是几维的。之后就可以利用如下的 KKT 条件
求得 SVM 原始问题的最优解。
$$left{egin{matrix}
L_{w} = w - sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i} = 0 \
L_{b} = -sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i} = 0 \
L_{xi_{i}} = C - alpha_{i} - mu_{i} = 0, ; i = 1,2,cdots,n \
y_{i}left ( w^{T}x_{i} + b
ight ) - 1 + xi_{i} geq 0, ; i = 1,2,cdots,n \
xi_{i} geq 0, ; i = 1,2,cdots,n \
alpha_{i} left [ y_{i}left ( w^{T}x_{i} + b
ight ) - 1 + xi_{i}
ight ] = 0, ; i = 1,2,cdots,n \
mu_{i}xi_{i} = 0, ; i = 1,2,cdots,n \
alpha_{i} geq 0,; i = 1,2,cdots,n \
mu_{i} geq 0,; i = 1,2,cdots,n
end{matrix}
ight. ; Rightarrow ;
left{egin{matrix}
w = sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i} \
sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i} = 0 \
C - alpha_{i} - mu_{i} = 0, ; i = 1,2,cdots,n \
b = y_{j}(1 - xi_{j}) - w^{T}x_{j} = y_{j} - sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{j}, ;(0 < alpha_{j} < C)
end{matrix}
ight.$$
进而得到分离超平面对应的模型
$$g(x_{i}) = w cdot x_{i} + b = sum_{j=1}^{n}alpha_{j}y_{j}x_{j} cdot x_{i} + b$$
现在对 KKT 条件分类讨论：
1）$alpha_{i} = 0$：因为 $y_{i}left (w^{T}x_{i} + b ight ) geq 1 - xi_{i}$，又 $mu_{i} = C$，所以 $xi_{i} = 0$(因为没有被惩罚，所以它是分类正确的样本点)，所以 $y_{i}f(x_{i}) geq 1$。
这种情况，样本点 $x_{i}$ 可能在分割边界上，也可能在分割边界内部。
2）$0 < alpha_{i} < C$：此时对应的 $x_{i}$ 是支持向量(在分割边界上)。此种情况下 $mu_{i} > 0$，又因为 $mu_{i}xi_{i} = 0$，于是 $xi_{i} = 0$，则 $y_{i}g(x_{i}) = 1$。
3）$alpha_{i} = C$：可知 $mu_{i} = 0$，$y_{i}left (w^{T}x_{i} + b ight ) = 1 - xi_{i}$，又 $xi_{i} geq 0$，所以 $y_{i}left (w^{T}x_{i} + b ight ) leq 1$。
综上得
$$y_{i}f(x_{i}) = left{egin{matrix}
geq 1, & alpha_{i} = 0 \
= 1, & 0 < alpha_{i} < C \
leq 1, & alpha_{i} = C
end{matrix}
ight.$$
不妨将这个称为目标条件。也就是说，凸二次规划问题的最优解 $alpha = (alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{n})$ 也会满足这个目标条件。
现在我们想利用最优解满足目标条件的这个性质来求最优解。
首先确定向量 $alpha$ 的一个初始值，使它满足原始对偶问题的两个约束条件，很明显 $0$ 向量就满足条件。因为初始向量不是最优解，所以它
不满足目标条件，那么怎么利用目标条件调整初始值呢？
将每个分量 $alpha_{i}$ 代入目标条件中，显然会有一部分满足条件，另一部分不满足，因为没办法在只优化一个分量的情况下保持原始对偶问题
的约束，所以我们下面选出两个待优化的分量：
1）第一个分量的选择
选择破坏 $g(x)$ 约束条件最严重的分量，$alpha$ 的分量中有等于 $0$ 的，有等于 $C$ 的，还有大于 $0$ 小于 $C$ 的，先从大于 $0$ 小于 $C$ 的分
量中选择，如果没有找到可优化的分量时，再从其他两类分量中挑选。
2）第二个分量的选择
选择的第一个分量满足违反 $g(x)$ 目标条件比较多，还有一个重要的考量，就是经过一次优化后，两个分量要有尽可能多的改变，这样才
能用少的迭代优化次数让它们达到 $g(x)$ 目标条件，所以选择第二个分量时，希望它能够在优化过程中让 $alpha_{1},alpha_{2}$ 有尽可能多的改变。
为每一个分量算出一个指标 $E$，它是这样的
$$E_{i} = g(x_{i}) - y_{i}$$
发现当 $|E_{1}-E_{2}|$ 越大时，优化后的 $alpha_{1}, alpha_{2}$ 改变越大。
选出了待优化变量 $alpha_{1},alpha_{2}$ 后，如何确保优化后，它们对应的样本能够满足 $g(x)$ 目标条件或者违反 $g(x)$ 目标条件的程度变轻呢？
考虑目标函数
$$L(alpha) = frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}alpha_{i}alpha_{j}y_{i}y_{j}K(x_{i},x_{j}) -sum_{i=1}^{n}alpha_{i}$$
显然，可以让优化后 $L$ 的函数值变小！使目标函数值变小，肯定是朝着正确的方向优化！也就肯定是朝着使违反 $g(x)$ 目标条件变轻的方向优化。
将 $alpha_{1}$ 和 $alpha_{2}$ 看作变量，将 $alpha_{3}, alpha_{4},..., alpha_{n}$ 固定(当做常数)。这样目标函数可以写为
$$L(alpha_{1},alpha_{2}) = frac{1}{2}alpha_{1}^{2}K_{11} + frac{1}{2}alpha_{2}^{2}K_{22} + y_{1}y_{2}alpha_{1}alpha _{2}K_{12} + alpha_{1}y_{1}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} +
alpha_{2}y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2}- alpha_{1} - alpha_{2} - sum_{i = 1}^{3}alpha_{i}$$
由等式约束得
$$alpha_{1}y_{1} + alpha_{2}y_{2} = -sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}$$
因为右边是一个常数，不妨设为 $M$，那么有
$$alpha_{1}y_{1} + alpha_{2}y_{2} = M \
Rightarrow alpha_{1} = y_{1}left (M - alpha_{2}y_{2}
ight )$$
将这个式子代入目标函数，此时原函数就变成了一个单变量的优化问题：
$$L(alpha_{2}) = frac{1}{2}left ( M - alpha_{2}y_{2} ight )^{2}K_{11} + frac{1}{2}alpha_{2}^{2}K_{22} + y_{2}left (M - alpha_{2}y_{2} ight )alpha _{2}K_{12} + left (M - alpha_{2}y_{2} ight )sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + alpha_{2}y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} - y_{1}left (M - alpha_{2}y_{2} ight ) - alpha_{2} $$
对 $alpha_{2}$ 求导得
$$frac{partial L}{partial alpha_{2}} = -y_{2}left ( M - alpha_{2}y_{2}
ight )K_{11} + alpha_{2}K_{22} + My_{2}K_{12} - 2alpha_{2}K_{12} - y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} + y_{1}y_{2} - 1 \
= -My_{2}K_{11} + underline{alpha_{2}K_{11}} + underline{alpha_{2}K_{22}} + My_{2}K_{12} - underline{2alpha_{2}K_{12}} - y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} + y_{1}y_{2} - 1 \
= left ( K_{11} + K_{22} - 2K_{12}
ight )alpha_{2} - My_{2}K_{11} + My_{2}K_{12} - y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} + y_{1}y_{2} - 1$$
令上式为 $0$ 得
$$left ( K_{11} + K_{22} - 2K_{12}
ight )alpha_{2}^{new} = 1 - y_{1}y_{2} + My_{2}K_{11} - My_{2}K_{12} + y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} - y_{2}sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} \
= y_{2}left ( y_{2} - y_{1} + MK_{11} - MK_{12} + sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} - sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2}
ight )$$
记 $alpha_{2}^{new}$ 为当前得到的可行解，记上一次迭代得到的可行解为 $alpha_{2}^{old}$，因为每次迭代的结果都满足原始约束：
$$alpha_{1}^{new}y_{1} + alpha_{2}^{new}y_{2} = M \
alpha_{1}^{old}y_{1} + alpha_{2}^{old}y_{2} = M$$
代入有
$$left ( K_{11} + K_{22} - 2K_{12}
ight )alpha_{2}^{new} = y_{2}left ( y_{2} - y_{1} + left (alpha_{1}^{old}y_{1} + alpha_{2}^{old}y_{2}
ight )K_{11} - left (alpha_{1}^{old}y_{1} + alpha_{2}^{old}y_{2}
ight )K_{12} + sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} - sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2}
ight ) \
= y_{2}left ( y_{2} - y_{1} + alpha_{1}^{old}y_{1}K_{11} + alpha_{2}^{old}y_{2}K_{11} - alpha_{1}^{old}y_{1}K_{12} - alpha_{2}^{old}y_{2}K_{12} + sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} - sum_{i = 3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2}
ight )$$
向量 $alpha$ 的初始值为 $0$ 向量，所以等式右侧所有符号的值都是已知的，从中可以解出 $alpha_{2}^{new}$。
看到上面这个迭代的式子实在太繁琐了，下面我们利用已知的一些等式条件来进行简化。模型函数为
$$g(x_{i}) = w cdot x_{i} + b = sum_{j=1}^{n}alpha_{j}y_{j}x_{j} cdot x_{i} + b$$
将数值代入求得的这个函数目前还不是正确的。代入 $x_{1},x_{2}$ 有
$$g(x_{1}) = sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{1} + b \
= alpha_{1}y_{1}x_{1}^{T}x_{1} + alpha_{2}y_{2}x_{2}^{T}x_{1} + sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{1} + b \
= alpha_{1}y_{1}K_{11} + alpha_{2}y_{2}K_{12} + sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + b \
Rightarrow ;; sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} = g(x_{1}) - alpha_{1}y_{1}K_{11} - alpha_{2}y_{2}K_{12} - b$$
$$g(x_{2}) = sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{2} + b \
= alpha_{1}y_{1}x_{1}^{T}x_{2} + alpha_{2}y_{2}x_{2}^{T}x_{2} + sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{2} + b \
= alpha_{1}y_{1}K_{12} + alpha_{2}y_{2}K_{22} + sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} + b \
Rightarrow ;; sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i2} = g(x_{2}) - alpha_{1}y_{1}K_{12} - alpha_{2}y_{2}K_{22} - b$$
将上面两个式子代入先前求得迭代式得
$$left ( K_{11} + K_{22} - 2K_{12}
ight )alpha_{2}^{new} = y_{2}left ( y_{2} - y_{1} + underline{alpha_{1}^{old}y_{1}K_{11}} + alpha_{2}^{old}y_{2}K_{11} - underbrace{alpha_{1}^{old}y_{1}K_{12}} - alpha_{2}^{old}y_{2}K_{12}
+ g(x_{1}) - underline{alpha_{1}^{old}y_{1}K_{11}} - alpha_{2}^{old}y_{2}K_{12} - b
- g(x_{2}) + underbrace{alpha_{1}^{old}y_{1}K_{12}} + alpha_{2}^{old}y_{2}K_{22} + b
ight )
= y_{2} igg( g(x_{1}) - y_{1} - left [g(x_{2}) - y_{2}
ight ] + alpha_{2}^{old}y_{2}(K_{11} - 2K_{12} + K_{22})igg) \
= y_{2} left [ E_{1} - E_{2} + alpha_{2}^{old}y_{2}(K_{11} - 2K_{12} + K_{22})
ight ]$$
所以迭代式最终变成了下面这个样子
$$alpha_{2}^{new} = alpha_{2}^{old} +frac{y_{2}left ( E_{1} - E_{2} ight )}{K_{11}+ K_{22} - 2K_{12}}$$
每次迭代得到一个 $alpha_{2}^{new}$ 后，还需要进行剪辑使其满足不等式约束，根据限制条件
$$alpha_{1}^{new}y_{1} + alpha_{2}^{new}y_{2} = M$$
1）$y_{1} = y_{2}$，那么变量必须满足的约束所有约束如下
$$alpha_{1}^{new} + alpha_{2}^{new} = varepsilon, ; (varepsilon = pm M)\
0 leq alpha_{1}^{new} leq C \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
即
$$0 leq varepsilon - alpha_{2}^{new} leq C \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
于是有
$$varepsilon - C leq alpha_{2}^{new} leq varepsilon \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
最终
$$maxleft { 0, varepsilon - C ight } leq alpha_{2}^{new} leq minleft { varepsilon,C ight }$$
也就是说，所求的值 $alpha_{2}^{new}$ 如果低于下界，则取下界，高于上界，则取上界。
2）$y_{1} eq y_{2}$，那么变量必须满足的约束所有约束如下
$$alpha_{1}^{new} - alpha_{2}^{new} = varepsilon, ; (varepsilon = pm M)\
0 leq alpha_{1}^{new} leq C \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
即
$$0 leq varepsilon + alpha_{2}^{new} leq C \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
于是有
$$-varepsilon leq alpha_{2}^{new} leq C - varepsilon \
0 leq alpha_{2}^{new} leq C$$
最终
$$max left {0, -varepsilon ight } leq alpha_{2}^{new} leq min left { C, C - varepsilon ight }$$
综合 $1),2)$，如果 $alpha_{2}^{new}$ 就在这个限制范围内，则求出 $alpha_{2}^{new}$，完成一轮迭代。如果 $alpha_{2}^{new}$ 不在这个限制范围内，进行截断取边界，此轮迭代照样结束。
经过上述一系列复杂的运算，我们找到了两个优化后的变量 $alpha_{1},alpha_{2}$，每次我们找到两个变量，都要更新阈值 $b$ 和差值 $E_{i}$。
当 $0 < alpha_{1}^{new} < C$ 时，有
$$b = y_{1} - sum_{i=1}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} \
Rightarrow b_{1}^{new} = y_{1} - alpha_{1}^{new}y_{1}K_{11} - alpha_{2}^{new}y_{2}K_{21} - sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1}$$
计算出上一次迭代后的 $E_{1}$ 为(这个值已经计算过并存储在内存里了)：
$$E_{1} = g(x_{1}) - y_{1} = alpha_{1}^{old}y_{1}K_{11} + alpha_{2}^{old}y_{2}K_{12} + sum_{i=3}^{n}alpha_{i}y_{i}K_{i1} + b^{old} - y_{1}$$
为了减少计算量，将上式代入 $b_{1}^{new}$ 得
$$b_{1}^{new} = -E_{1} + underline{alpha_{1}^{old}y_{1}K_{11}} + underbrace{alpha_{2}^{old}y_{2}K_{12}} - underline{alpha_{1}^{new}y_{1}K_{11}} - underbrace{alpha_{2}^{new}y_{2}K_{21}} + b^{old} \
= -E_{1} - y_{1}K_{11}left ( alpha_{1}^{new} - alpha_{1}^{old}
ight ) - y_{2}K_{21}left ( alpha_{2}^{new} - alpha_{2}^{old}
ight ) + b^{old}$$
