函数间断点

函数连续：函数 $f(x)$ 在某一个点 $x_{0}$ 处连续必须同时满足 3 个条件：

            1）函数在 $x_{0}$ 处有定义

            2）$lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)$ 存在

            3）$lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = f(x_{0})$

函数间断：函数 $f(x)$ 在某一个点 $x_{0}$ 的去心邻域有定义，但在点 $x_{0}$ 不连续，即上面三个条件不全满足，则函数在该点间断，

          该点为间断点。间断点可以有定义也可无定义，间断只是考虑极限，而极限只与该点左右极限有关，和点的取值无关。

   1）第一类间断点

      a. 可去间断点：函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处左右极限都存在且相等，即该点处极限存在。若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有定义，则$lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) eq  f(x_{0})$。

                 

      b. 跳跃间断点：$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处左右极限都存在但不相等。

                 

   2）第二类间断点

      a. 无穷间断点：左右极限至少有一个不存在(不存在就是为 $infty$ )。

            

      b. 振荡间断点：间断点处的极限振荡不存在，此处是振荡不存在，并不是极限为无穷。下图函数，当 $x ightarrow 0$，函数值在 -1和1之间交替取值。