马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的分布函数一个宽泛但仍有用的界。
令 $X$ 为非负随机变量，且假设 $E(X)$ 存在，则对任意的 $a > 0$ 有
$$Pleft { X geq a ight } leq frac{E(X)}{a}$$
马尔可夫不等式是用来估计尾部事件的概率上界，一个直观的例子是：如果 $X$ 是工资，那么 $E(X)$ 就是平均工资，假设 $a=n*E(X)$，即平均
工资的 $n$ 倍。那么根据马尔可夫不等式，不超过 $1/n$ 的人会有超过平均工资的 $n$ 倍的工资。
证明如下
$$E(X) = int_{0}^{+infty}f(x)dx = int_{0}^{a}xf(x)dx + int_{a}^{+infty}xf(x)dx geq int_{a}^{+infty} xf(x)dx geq aint_{a}^{+infty}f(x)dx = aPleft { X > a ight }$$
切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况。
若随机变量 $X$ 的数学期望和方差都存在，分别设为 $E(X)$ 和 $D(X)$，则对任意的 $varepsilon >0$，有
$$Pleft {| X-E(X) | geq varepsilon ight } leq frac{D(X)}{varepsilon ^{2}}$$
通过马尔可夫不等式可证明
$$Pleft {| X-E(X) | geq varepsilon ight } = Pleft {[X-E(X)]^{2} geq varepsilon^{2} ight } leq frac{Eleft { [X-E(X)]^{2} ight }}{varepsilon ^{2}} = frac{D(X)}{varepsilon ^{2}}$$
切比雪夫不等式没有限定分布的形式，所以应用广泛，但这个界很松。
$varepsilon$ 代表 $X$ 和期望 $E(X)$ 之间的距离，相差越大，则概率越小，它描述了这样一个事实：事件大多会集中在平均值附近。