广度优先搜索

广度优先搜索是最简单的图搜索算法之一，也是许多重要的图算法原型。

算法描述：

    给定图G=(V,E)和一个可识别的源结点s, 广度优先搜索对图G中的边进行系统性的搜索来发现从源结点s可以到达的所有结点。

该算法能够计算从s到每个可达节点的最短距离(即最少边数)，同时生成一颗“广度优先搜索树”。

    该算法既可以用于无向图，也可以用于有向图。

    该算法需要先发现所有到源结点s的距离为k的所有结点，之后才会去发现到源结点s距离为k+1的结点。

算法适用：

    通常用来寻找从一个特定源结点出发的最短路径距离。

广度优先搜索树

    该树以源节点s为根节点，包含所有s可到达的结点，树中s到可到达节点v的距离，即为简单图中s到v的最短距离。

    注：搜索树中的边是图中存在的边，而删除了部分的边，构成一棵无环的图，即树。

        搜索树中的边是搜索过程中搜索到该结点所依附的那个边，如下左图所示。

        若出发点是a，则a通过1搜索到d，d通过2搜索到b，d通过3搜索到c，所以搜索树如下右图所示

                

               将广度优先搜索树中的边改为有向边，即为前驱子图。其数学定义为：

             

                v.pre为v的前驱结点，该前驱图的结点由源结点s和其余前驱非空的结点组成。

算法实现： 

1. 邻接矩阵法

int visited[N];
int edges[N][N];

void BFS(int start)
{
    queue<int> mq;
    memset(visited, 0, sizeof(visited));

    mq.push(start);
    visited[start] = 1;

    while(mq.empty() == false)
    {
        int id = mq.front();
        mq.pop();

        for(int i = 0; i < N; i++)
        {
            if(edges[id][i] == 1 && visited[i] == 0)
            {
                visited[i] = 1;
                mq.push(i);
            }
        }
    }
}

2. 邻接链表法(用数组模拟) 

int visited[N];
vector<int> v[N];

void BFS(int start)
{
    queue<int> mq;
    memset(visited, 0, sizeof(visited));
    
    mq.push(start);
    visited[start] = 1;

    while(mq.empty() == false)
    {
        int id = mq.front();
        mq.pop();

        for(int i = 0; i < v[id].size(); i++)
        {
            if(visited[i] == 0)
            {
                to = v[id][i];
                visited[to] = 1;
                q.push(to);
            }
        }
    }
}

　　

邻接链表法时间复杂度分析：

    使用聚合分析法进行整体分析，每个结点入队最多一次，出队最多一次，入队和出队的时间均为O(1)，因此对队列进行操作的总时间为O(V)。

    因此第21行到第23行的时间复杂度是O(V)，因为这三行成线性关系，因此只考虑队列操作。

    现在考虑循环和条件判断，会对每条边进行扫描，因此12行到19行的时间复杂度为O(E)。

    因此总时间复杂度为O(V+E)。