[HNOI2015]亚瑟王
Description
小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。 本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。
Input
输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。
Output
对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。
Sample Input
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1
Sample Output
HINT
一共有 13 种可能的情况：
虽然概率DP是很明显了，但是状态转移方程真鸡儿难想。
思考的角度完全错了，做题的时候一直在想如何用f[i][j]表示第i轮前j张牌的期望伤害之类的，没想到正解转移的根本不是期望。。。
实际上伤害的期望值$E=k[i] imes d[i]$，其中$k[i]$为第i张牌发动技能的概率。
于是问题就转化为了求$k[i]$
设f[i][j]为转移到第i张牌的时候，还剩j轮的概率。
显然，转移到第i张牌的时候，还剩j轮的概率为 "在i-1张牌时剩j轮并未发动技能的概率" 加上 "在i-1张牌时剩j+1轮并发动技能的概率"。即$$f[i][j]=f[i-1][j] imes(1-p[i-1])^j+f[i-1][j+1] imes(1-(1-p[i-1])^j+1)$$
那么$$E_{ans}=sum_{i=1}^n{sum_{j=1}^r (1-(1-p[i])^j) imes f[i][j] imes d[i]}$$
代码不长。
1 #include<cstring> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++) 6 using namespace std; 7 const int N=300; 8 int n,T,r,d[N]; 9 double p[N],ans,f[N][N]; 10 int main(){ 11 scanf("%d",&T); 12 while(T--){ 13 memset(f,0,sizeof(f)); 14 scanf("%d%d",&n,&r); 15 f[0][r]=1; 16 foru(i,1,n)scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]); 17 double ans=0; 18 foru(i,1,n) 19 foru(j,1,r){ 20 f[i][j]=(double)f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+f[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1)); 21 ans+=(double)f[i][j]*(1-pow(1-p[i],j))*d[i]; 22 } 23 printf("%.10lf ",ans); 24 } 25 return 0; 26 }