树状数组

树状数组是一种可以在O(log n)内区间求和或单点修改的数据结构，因其代码简单且不需递归，效率较线段树高。

树状数组的实现：

1. Lowbit：lowbit(k)是指整数k的二进制的右数第一个1以右的部分的大小，如(6)₁₀=(110)₂则lowbit(6)=(10)₂=(2)₁₀。

   lowbit的简单实现：一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，则lowbit(10)=0110&1010=0010。即

   #define lowbit(x) (x&(-x))

2. 定义：数组a为储存原始数据的数组，数组c为树状数组。
3. 实现树状数组：(并未完全理解，先记忆，回头复习)

   初始化令c[k]=a[k]+a[k-1]+…+a[lowbit(k)];

       for(i=1;i<=n;i++){
           cin>>a[i];
           a[i]+=a[i-1];//读入时用前缀和初始化
       };
       for(i=1;i<=n;i++)
           c[i]=a[i]-a[i-lowbit(i)];//初始化令c[k]=a[k]+a[k-1]+…+a[lowbit(k)];

   则区间求和可以写为：

   int get(int k){
       int sum=0;
       while(k>0){
           sum+=c[k];//加上a[k]至a[lowbit(k)]的值
           k-=lowbit(k);//将指针前移lowbit(k)个位置
       }
       return sum;
   }

   同样的，单点修改可以写为：

   void add(int k,int x){
       while(k<=n){
           c[k]+=x;//将a[k]的值增加x，并更新c数组
           k+=lowbit(k);//将指针前移lowbit(k)个位置
       }
   }

4. 例题：codevs 1080(线段树练习)

   #include<iostream>
   #include<cstring>
   #include<algorithm>
   #define lowbit(x) (x&(-x))
   using namespace std;
   
   int a[200000],c[200000];
   int i,j,n;
   
   int get(int k){
       int sum=0;
       while(k>0){
           sum+=c[k];//加上a[k]至a[lowbit(k)]的值
           k-=lowbit(k);//将指针前移lowbit(k)个位置
       }
       return sum;
   }
   
   void add(int k,int x){
       while(k<=n){
           c[k]+=x;//将a[k]的值增加x，并更新c数组
           k+=lowbit(k);//将指针前移lowbit(k)个位置
       }
   }
   
   int main(){
       int k,m;
       memset(a,0,sizeof(a));
       memset(c,0,sizeof(c));
       cin>>n;
       for(i=1;i<=n;i++){
           cin>>a[i];
           a[i]+=a[i-1];//读入时用前缀和初始化
       };
       for(i=1;i<=n;i++)
           c[i]=a[i]-a[i-lowbit(i)];//初始化令c[k]=a[k]+a[k-1]+…+a[lowbit(k)];
       cin>>m;
       for(i=1;i<=m;i++){
           cin>>k;
           if(k==1){cin>>k>>j;add(k,j);}
           else{cin>>k>>j;cout<<get(j)-get(k-1)<<endl;}
       }
   }