题意:若一个数n能被表达为n的k个因数的和(因数可重复使用),则称n是k表达数
多组测试数据T,求A~B的k表达数数量
数据范围:A,B<=1e18,T<=5e4,2<=k<=7
解析:这题第一眼看过去极其不可做,我考试时直接放弃
有一个比较显然的性质,如果一个数是k表达数,那么它的倍数一定都是k表达数.
如果n = ∑(k|n)k,那么显然有x*n = Σ(x*k|x*n)x*k;
所以可以猜想对于每个k我们都可以找出它的几个最小k表达数xi,且任意i,j都不满足xi|xj,然后它们的所有倍数都是k表达数
爆搜一下可以发现xi很小且很少
如:k = 2 : 2(1 + 1)
= 3 : 3(1 + 1+ 1) 4(1 + 1 + 2)
= 4: 4(1 + 1 + 1 + 1) 6(1 + 2 + 2 + 1) 10(2 + 2 + 5 + 1)
即使等于7也只有15个xi,所以转化为经典问题,问A~B之间有几个数是给定的数的至少一个的倍数,容斥一下即可
注意暴力容斥2^15 * T是过不了的,所以需要开个Map记录一下,各个最小公倍数的贡献(因为最小公倍数可能会重复,如24,54,36的最小公倍数与24,54的最小公倍数是相同的),奇加偶减即可
代码如下:
/*divisor*/ #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<map> #include<vector> using namespace std; #define ll long long ll read(){ char c = getchar(); ll x = 0; while(c < '0' || c > '9') c = getchar(); while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48,c = getchar(); return x; } const int maxn = 1e5 + 10; map<ll,ll>Map[11]; vector<int>valid[11]; vector<int>pr[510]; int a[maxn]; bool used[11][510]; vector<int>num[11]; vector<int>op[11]; ll gcd(ll x,ll y){ return (y == 0)?x:gcd(y,x%y); } ll lcm(ll x,ll y){ return x / gcd(x,y) * y; } bool Dfs(int x,int n,int step,int k){ if(step == k + 1){ ll g = 0; ll sum = 0; for(int i = 1; i <= k; ++i) g = gcd(g,a[i]),sum += a[i]; if(g == 1 && sum == x) return true; return false; } for(int i = n; i < (int)pr[x].size(); ++i){ int v = pr[x][i]; a[step] = v; if(Dfs(x,i,step+1,k)) return true; a[step] = 0; } return false; } int main(){ for(int i = 1; i <= 500; ++i) for(int j = 1; j * i <= 500; ++j) pr[j*i].push_back(i); int t = read(); while(t--){ ll a = read(),b = read(),k = read(); if(!Map[k][0]){ for(int i = 1; i <= 500; ++i){ if(Dfs(i,0,1,k)){ bool flag = 1; for(int j = 0; j < (int)pr[i].size(); ++j){ if(used[k][pr[i][j]]){ flag = 0; break; } } if(flag) valid[k].push_back(i),used[k][i] = true; } } Map[k][0] = 1; int n = valid[k].size(); int tot = -1; for(int i = 1; i < (1 << n); ++i){ ll lc = 1; int cnt = 0; for(int j = 0; j < n; ++j){ if(i & (1 << (j))) cnt++,lc = lcm(lc,valid[k][j]); } int o = (cnt & 1)?1:-1; if(!Map[k][lc]){ Map[k][lc] = ++tot; num[k].push_back(lc),op[k].push_back(o); } else{ op[k][Map[k][lc]] += o; } } } ll Ans = 0; for(int i = 0; i < (int)num[k].size(); ++i){ ll v = num[k][i],o = op[k][i]; Ans += o * ((b / v) - ((a - 1) / v)); } printf("%lld ",Ans); } return 0; }