Description
Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。
Input
一个整数，为N。
Output
一个整数，为所求的答案。
Sample Input
6
Sample Output
15
HINT
【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。
题解
$$egin{aligned}
&sum_{i=1}^N gcd(i, N)\
&= sum_{d|N} dsum_{i=1}^N [gcd(i, N) = d]\
&= sum_{d|N} dsum_{d|t} muleft(frac td
ight)sum_{i=1}^N [t|gcd(i,N)]\
&= sum_{t|N} frac Ntsum_{d|t} dmuleft(frac td
ight)\
&= sum_{t|N} frac Ntphi(t)
end{aligned}$$
预处理N的质因子，枚举其因数即可。
代码：
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int M = 100;
int n;
LL ans;
int pr[M], prcnt;
inline void calc(int x) {
int anst = x;
for (int i = 0; i < prcnt; ++i) if (!(x % pr[i]))
anst = anst / pr[i] * (pr[i] - 1);
ans += (LL)n / x * anst;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
int tn = n;
for (int i = 2; (LL)i * i <= tn; ++i)
if (!(tn % i)) {
pr[prcnt++] = i;
while (!(tn % i)) tn /= i;
}
if (tn > 1)
pr[prcnt++] = tn;
for (int i = 1; (LL)i * i <= n; ++i) if (!(n % i)) {
calc(i);
if (i != n / i) calc(n / i);
}
printf("%lld
", ans);
return 0;
}