BZOJ2152 聪聪可可

Description

聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Input

输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。

Output

以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）。

Sample Input

5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

Sample Output

13/25
【样例说明】
13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【数据规模】
对于100%的数据，n<=20000。

题解

解法1

点分治。每次选取树的重心，求出经过它的满足条件的路径条数，再对其所有子树递归。

代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define forEdge(x, i) for (int i = pre[(x)]; ~i; i = nxt[i])
typedef long long LL;
const int N = 20050;
int pre[N], nxt[N * 2], to[N * 2], w[N * 2];
int cnt = 0;
int n;
inline void addEdge(int x, int y, int v) {
  to[cnt] = y; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[x]; pre[x] = cnt++;
  to[cnt] = x; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[y]; pre[y] = cnt++;
}
bool vis[N];
LL g[3], f[3];
int siz[N], ssiz[N], sizv;
int getRoot(int x, int fa) {
  int rt = -1;
  siz[x] = 1;
  ssiz[x] = 0;
  forEdge(x, i) {
    int u = to[i];
    if (u == fa || vis[u]) continue;
    int rt1 = getRoot(u, x);
    if (!~rt || ssiz[rt] > ssiz[rt1]) rt = rt1;
    siz[x] += siz[u];
    ssiz[x] = std::max(ssiz[x], siz[u]);
  }
  ssiz[x] = std::max(ssiz[x], sizv - siz[x]);
  if (!~rt || ssiz[rt] > ssiz[x]) rt = x;
  return rt;
}
void mainDfs(int x, int fa, int dis) {
  ++f[dis %= 3];
  forEdge(x, i) {
    int u = to[i];
    if (u == fa || vis[u]) continue;
    mainDfs(u, x, dis + w[i]);
  }
}
LL calc(int x) {
  LL ans = 0;
  g[0] = 1;
  g[1] = g[2] = 0;
  forEdge(x, i) {
    f[0] = f[1] = f[2] = 0;
    int u = to[i];
    if (vis[u]) continue;
    mainDfs(u, x, w[i]);
    ans += g[0] * f[0] + g[1] * f[2] + g[2] * f[1];
    g[0] += f[0]; g[1] += f[1]; g[2] += f[2];
  }
  return ans;
}
LL solve(int x) {
  vis[x] = 1;
  LL ans = calc(x);
  forEdge(x, i)
    if (!vis[to[i]])
      ans += solve(getRoot(to[i], x));
  return ans;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
  return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
  memset(pre, -1, sizeof pre);
  int n, x, y, v;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
    addEdge(--x, --y, v);
  }
  sizv = n;
  LL ans = solve(getRoot(1, -1)) * 2 + n;
  LL t = (LL)n * n;
  LL g = gcd(ans, t);
  printf("%lld/%lld
", ans / g, t / g);
  return 0;
}

（可能是我写的不够wys吧...）

解法2

dp。随便选一个根，令$f_{i,j} (j in {0, 1, 2})$表示$i$的子树里到$i$距离模3为$j$的点数。

求$f_i$时顺便把以i为LCA的点对统计了就行了。

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define forEdge(x, i) for (int i = pre[(x)]; ~i; i = nxt[i])
typedef long long LL;
const int N = 20050;
int pre[N], nxt[N * 2], to[N * 2], w[N * 2];
int cnt = 0;
int n;
LL f[N][3];
inline void addEdge(int x, int y, int v) {
  to[cnt] = y; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[x]; pre[x] = cnt++;
  to[cnt] = x; w[cnt] = v;
  nxt[cnt] = pre[y]; pre[y] = cnt++;
}
LL dfs(int x, int fa) {
  LL ans = 0;
  f[x][0] = 1;
  forEdge(x, i) if (to[i] != fa) {
    ans += dfs(to[i], x);
    for (int k = 0; k < 3; ++k)
      ans += f[x][k] * f[to[i]][(6 - k - w[i]) % 3];
    for (int k = 0; k < 3; ++k)
      f[x][(k + w[i]) % 3] += f[to[i]][k];
  }
  return ans;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
  return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
  memset(pre, -1, sizeof pre);
  int n, x, y, v;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
    addEdge(--x, --y, v %= 3);
  }
  LL ans = dfs(0, -1) * 2 + n;
  LL t = (LL)n * n;
  LL g = gcd(ans, t);
  printf("%lld/%lld
", ans / g, t / g);
  return 0;