Karp在1977年的论文，讲述了一种(O(nm))的算法，用来求有向强连通图中最小平均权值回路（具体问题请参照这里）
本人翻译（有删改）：
首先任取一个节点 (s) ，定义 (F_k(v)) 为从 (s) 到 (v) 恰好经过 (k) 条边的最短路（不存在则为 (infty) ）， (lambda^*) 表示答案，则
Theorem 1
定理1的证明需要一个引理。
Lemma 2
如果(lambda^* = 0),那么
Proof. 由于 (lambda^* = 0) , 存在一个零环，但不存在负环。由于没有负环，从 (s) 到 (v) 一定存在最短路（指取值和最小路径），且路径上边的条数不超过 (n) 。令其权值和为 (pi(v)) , 则 (F_n(v) geq pi(v)) , 且 (pi(v) = min_{0 leq k leq n - 1} F_k(v)) , 所以
又由(F_n(v) geq pi(v))，
(( ef{lemma})) 中等号成立当且仅当 (F_n(v) = pi(v)) . 现在我们只需要证明存在这样一个节点就可以完成此引理的证明。由条件可知，图中存在零环。令此零环为 (C) ,在环上任选一点 (x) , 沿环上的边走若干步后到 (x) , 那么 (sleadsto xleadsto y) 一定是一条 (s-y) 最短路（不然的话，有某条路径(sleadsto y)权值和小于这条路径，我们就可以走(sleadsto y leadsto x)，第二部分路径在环上走，容易发现这样是更短的(s-x)路径，与最短路不符）。那么，从 (x) 出发沿零环走若干步直到 (sleadsto xleadsto y) 上有(n)条边时，就有 (F_n(y) = pi(y)) , 即$$max_{0 leq k leq n - 1} left[frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k} ight] = 0$$. 证毕。
Proof of Theorem 1. 我们现在讨论将图中所有边权都增加 (c) 之后定理1中的两边会怎么变化。 (lambda^*) 增加(c) , 因为所有环的平均权值都增加了 (c) . (F_k(v)) 会增加 (kc) ,
也会增加 (c) . 所以定理1等号两边都增加了相同的量，仍然成立。据此，若给定任意一个图，我们将它的所有的边都同时减去某个数(c)（有可能小于0），使得存在零环而无负环，这时定理成立；我们再把每条边都加上(c)，就可以得知原图中定理成立。 证毕。
我们可以通过下述递推式求出所有 (F_k(v)) :
其初始条件
由于每条边会被松弛 (O(n)) 次，最后求出 (lambda^*) 的值需要 (O(n^2)) , 总时间复杂度为 (O(nm)) .
原论文中要求图强连通，实际上不必如此（以下原创）。
容易发现，如果图不强连通，只有两个地方可能会出问题：第一，可能有些环从(s)无法达到，从而无法参与计算；第二，(F_n(v))有可能是正无穷（而强连通图一定不是）。
那么，我们新建一个点（注意，实现时可能不显式写出这个点，但式子里的(n)必须要算到(n+1)，或者强行把所有(F)的下标都减一也可以），从它到每个点连一条权值任意（比如都为0）的边，容易知道答案不变。以新的节点作为(s)，漏洞一就被填补了。
对于第二个漏洞：计算 (lambda^*) 时，由于我们从 (s) 向每个点连了一条边，若 (F_n(v) = infty) , 其一定不在任何一个环上（不然显然我可以在这个环上走几圈然后肯定能到这个点），直接忽略。
所以，对于任意有向图(G)，添加(s)点之后，