行列式的本质是什么？

作者：童哲
链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817
来源：知乎

行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~


1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。

3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。



所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！




理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：



道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！



你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做“”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”



翻译成线性代数的表达就是：







这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：


那么很自然，你很轻松就理解了：


so easy，因为




同时你也必须很快能理解了

“矩阵可逆” 完全等价于 “”

因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的， 就表示新的立方体在 维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。



当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：

由

可知

这怎么可能啊~？ 了，那么等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 不存在。所以自然不可逆。




YES！竟然真的过1000了，我来加点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：

傅里叶变换也可以求行列式！！！


是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换 居然也可以求行列式！！！


首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：




然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元了。我在痴人说梦吗？

但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个"变换"，难道它也是“线性变换”？！！！


一检查，尼玛还真的是。所有函数就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的明明是函数啊，怎么就变成了向量呢？向量不是一个维空间中的箭头吗？长得也不像啊。



其实 “所有组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：

1，向量和向量可以相加，并且有交换律

2，存在零向量 ，即处处值为零的函数

3，任何一个向量都存在一个与之对应的逆向量，使得相加之和等于零向量

以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。



艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T


好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~

一旦接受了向量是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！


接下来不妨思考一下，傅里叶变换 是把一个函数变成了另一个函数，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量变成了另一个线性空间中的向量吗？ 我整个人都咆哮了！！！



而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：

以及


因为积分变换的线性性：

的傅里叶变换的傅里叶变换+的傅里叶变换

加法达成。当然数乘也轻松满足：




于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：

傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式！！！


（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）



言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？



那阿哲就把 求出来给你看：

很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的矩阵表达式并套用公式。

所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换有如下性质：



如果把傅里叶变换看做是一个无穷维的，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。

艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。

若傅里叶变换是：

则它的逆变换是： （说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）

现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是 为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。

没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数，以及积分因子多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反，变成了，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数）。

于是也就是说

结合之前的式子

我们很容以得到

（更严格来说更对称的傅里叶变换版本的行列式为1）


我去，真的可以求啊。是的，你已经求出来了，虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现，但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋：


都说求导可以把一个函数变成另一个函数，如果我们把“求导这个操作”当做是一个线性变换，发现其实也是完全合理的：



线性性完美地满足:



那么请问"求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢？


思考一下。。。


再思考一下。。。前方剧透请小心手滑！！！











。。。





因为，它是不可逆的！

你要问我兹次不兹次？我可以明确告诉你，不可逆的线性变换都是耍流氓，行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。

（全剧终，其他文章连载继续。时间太少更新不够勤，请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现，也请海涵。）


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