并不对劲的拉格朗日插值

题目大意

给(n)（(nleq 2000)）个点((x_1,y_1),...,(x_n,y_n))((x,yleq 998244353))，求多项式(f(x))使(forall iin [1,n],f(x_i) mod 998244353=y_i)。

题解

结论：(f(x)=sumlimits_{i=1}^{n}y_ifrac{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_j)}{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x_i-x_j)})
该式可以保证当(x=x_k)时，(i=k) 时 (frac{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_j)}{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x_i-x_j)}=1)，(i eq k) 时 (frac{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_j)}{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x_i-x_j)}=0)，符合题目要求。
考虑怎么求(f(x))每一项系数。
(f(x)=sumlimits_{i=1}^{n}frac{y_i}{prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x_i-x_j)} imes(prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_j)))
前一部分可以直接求，对于后一部分(prodlimits_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_j))：
先求出(g(x)=prodlimits_{j=1}^{n}(x-x_j))，即求出((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))，(k)次项系数相当于在((-x_1),(-x_2),...,(-x_n))中选(n-k)个数的所有方案的积的和，这部分可以设(dp(i,j))表示考虑前(i)个数，选了(j)个数；
接下来考虑如何从(g(x))中去掉((x-x_i))得到(prodlimits_{j=1j eq i}^{n}(x-x_j))，相当于已知(g(x),x_i)，求(h(x))使(h(x) imes(x-x_i)=g(x))，设(g(x)=sumlimits_{j=0}^n a_j imes x^j)，(h(x)=sumlimits_{j=0}^{n-1}b_j imes x^j)，就有(sumlimits_{j=0}^{n-1}b_j imes x^{j+1}-sumlimits_{j=0}^{n-1}b_j imes x_j imes x^j=sumlimits_{j=0}^n a_j imes x^j)，该式无论(x)取何值恒成立，就可以得出(x)对应次项的系数相等，即(b_0=-frac{a_0}{x_i})，(forall jin[1,n],b_j=-frac{a_j-b_{j-1}}{x_i})。
时间复杂度(Theta(n^2))。

代码

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];~k;k=nxt[k])
#define LL long long
#define maxn 2007
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x==0){putchar('0'),putchar('
');return;}
    int f=0;char ch[20];
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar('
');
    return;
}
const LL mod=998244353;
int qx[maxn],qy[maxn],a[maxn],n,K,f[maxn];
int mo(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
int mul(int x,int y){int res=1;while(y){if(y&1)res=(LL)res*x%mod;x=(LL)x*x%mod,y>>=1;}return res;}
int getf(int x)
{
    int ans=0,now=1;
    rep(i,0,n-1)ans=mo(ans+(LL)now*a[i]%mod),now=(LL)now*x%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    n=read(),K=read();
    rep(i,1,n)qx[i]=read(),qy[i]=read();
    f[0]=1;
    rep(i,1,n)dwn(j,i,1)
    	f[j]=mo(f[j]+(LL)f[j-1]*(mod-qx[i])%mod);
    reverse(f,f+n+1);
	rep(i,1,n)
    {
    	int num=1,nyx=mul(mod-qx[i],mod-2);
    	rep(j,1,n)if(j!=i)num=(LL)num*mo(qx[i]-qx[j]+mod)%mod;
    	num=(LL)mul(num,mod-2)*qy[i]%mod;
		int lst=0;
		rep(j,0,n-1)
    	{
    		lst=(LL)mo(f[j]-lst+mod)*nyx%mod,a[j]=mo(a[j]+(LL)lst*num%mod);
    	}
    }
	write(getf(K));
	return 0;
}

一些感想

终于填上这个坑了。。。