题目大意
随机生成一棵(n)(nleq10^9)个节点的有根二叉树，问叶子结点个数的期望。
题解
subtask 1：(nleq100)，70pts
结论：不同的(n)个节点的有根二叉树有(frac{C_{2 imes n}^{n}}{n+1})（也就是卡特兰数）个。
设(f(i))表示(i)个节点的有根二叉树期望有几个叶子结点。
计算(f(i))时考虑除根以外(i-1)个节点哪些放左边，哪些放右边。(Theta(n^2))。
subtask 2：(nleq 10^9)，30pts
将(f(i) imes frac{C_{2 imes n}^{n}}{n+1})打表，得：1,2,6,20,70,252……
也就是：(1 imes 1,2 imes 1,3 imes 2,4 imes 5,5 imes 14,6 imes 42,.....)
有：(f(i) imes frac{C_{2 imes n}^{n}}{n+1}=i imes frac{C_{2 imes (n-1)}^{n-1}}{n})
(f(i)=frac{i imes f(i) imes frac{C_{2 imes (n-1)}^{n-1}}{n}}{frac{C_{2 imes n}^{n}}{n+1}}=frac{i imes(i+1)}{2 imes (2 imes i-1)})
代码
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];~k;k=nxt[k])
#define LL long long
#define D double
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
void write(int x)
{
if(x==0){putchar('0'),putchar('
');return;}
int f=0;char ch[20];
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
while(f)putchar(ch[f--]);
putchar('
');
return;
}
int n;
//D g[107],f[107];
int main()
{
n=read();
/*f[0]=0,g[0]=g[1]=f[1]=1;
rep(i,2,n)
{
rep(j,0,i-1)g[i]+=g[j]*g[i-j-1];
rep(j,0,i-1)f[i]+=g[j]*g[i-j-1]/g[i]*(f[j]+f[i-j-1]);
}
*/
printf("%.9lf",n*(n+1.0)/2.0/(2.0*n-1.0));
return 0;
}
一些感想
学习卡特兰数中……