• 二分搜索


    一、相关介绍

    在计算机科学中,二分搜索(binary search),也称折半搜索(half-interval search)、对数搜索(logarithmic search),是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始,如果中间元素正好是要查找的元素,则搜索过程结束;如果某一特定元素大于或者小于中间元素,则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空,则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

    二、典型问题

    问题一

    给定一个有序的数组,查找 value 是否在数组中,不存在返回 - 1。

    int BinarySearch(int array[], int n, int value)
    {
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        //如果这里是int right = n 的话,那么下面有两处地方需要修改,以保证一一对应:
        //1、下面循环的条件则是while(left < right)
        //2、循环内当 array[middle] > value 的时候,right = mid
    
        while (left <= right)  //循环条件,适时而变
        {
            int middle = left + ((right - left) >> 1);  //防止溢出,移位也更高效。同时,每次循环都需要更新。
            if (array[middle] > value)
                right = middle - 1;  //right赋值,适时而变
            else if (array[middle] < value)
                left = middle + 1;
            else
                return middle;
            //可能会有读者认为刚开始时就要判断相等,但毕竟数组中不相等的情况更多
            //如果每次循环都判断一下是否相等,将耗费时间
        }
        return -1;
    }
    

    问题二

    给定一个有序的数组,查找 value 第一次出现的下标,不存在返回 - 1。

    int BinarySearch(int array[], int n, int value)
    {
        int left = 0;
        int right = n - 1;
    
        while (left <= right)  
        {
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (array[middle] >= value)  //因为是找到最小的等值下标,所以等于号放在这里
                right = middle - 1;
            else
                left = middle + 1;
        }
        return array[right + 1] == value ? right + 1 : -1;
    }
    

    如果问题改为查找 value 最后一次出现的下标呢?只需改动两个位置:
    1.if (array[middle] >= value)中的等号去掉;
    2.returnright+1改为left-1

    问题三

    给定一个有序的数组,查找最接近 value 且大于 value 的数的下标,不存在返回 - 1。

    int BinarySearch(int array[], int n, int value)
    {
        int left = 0;
        int right = n - 1;
    
        while (left <= right)  
        {
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (array[middle] > value)
                right = middle - 1;
            else
                left = middle + 1;
        }
        return array[right + 1] > value ? right + 1 : -1;
    }
    

    如果问题改为查找最接近 value 且小于 value 的数的下标呢?只需改动两个位置:
    1.if (array[middle] > value)加入一个等号;
    2.return array[right + 1] > value ? right + 1 : -1;改为return array[left-1] < value ? left - 1 : -1;

    问题四

    给定一个轮转后的有序数组(所谓转轮有序数组,比如:{2, 3, 4, 5, 1},{ 5, 1, 2, 3, 4 }),查找 value 是否在数组中,不存在返回 - 1。

    int BinarySearch(int array[], int n, int value)
    {
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        while (left <= right)
        {
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (value < array[middle])
            {
                if (array[middle] < array[right])
                    right = middle - 1;
                else
                {
                    if (value < array[left])
                        left = middle + 1;
                    else
                        right = middle - 1;
                }
            }
            else if (value > array[middle])
            {
                if (array[middle] > array[left])
                    left = middle + 1;
                else
                {
                    if (value > array[right])
                        right = middle - 1;
                    else
                        left = middle + 1;
                }
            }
            else
                return middle;
        }
        return -1;
    } 
    

    理解上面的代码很简单,只需从三个方面考虑:
    {1, 2, 3, 4, 5},
    {2, 3, 4, 5, 1},
    {5, 1, 2, 3, 4}。

    三、总结

    二分算法所操作的区间,是左闭右开,还是左闭右闭,需要在循环体跳出判断中,以及每次修改 left,right 区间值这两个地方保持一致,否则就可能出错。

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