[DP][SA][可持久化线段树]黑红兔

• 源自 xyz32768 菜鸡的 FJ 省冬令营模拟赛题

• 原题 CF1063F

Statement

• 给定一个长度为 (n) 的字符串 (s)，仅包含小写英文字母

• 要从中从左往右选出若干段不相交的子串

• 使得选出的这些串中，每个串都是上一个串的严格子串

• 求最多能选出多少段

• (1le nle5 imes10^5)

Solution

• 首先注意到一个性质：设选出的第一个子串长度为 (len)，那么最优解选出的子串长度一定是 (len,len-1,dots,2,1)

• 于是从右往左 DP：(f[i][j]) 表示以 (i) 为首串的开头，是否存在选出 (j) 段的方案（也是首串的长度为 (j)）

• 这个 DP 是 (O(n^2)) 的

• 我们还有一个性质：(f[i][j]) 是单调的。换句话说，如果存在选出 (j) 个串的方案就一定存在选出 (j-1) 个串的方案

• 证明考虑第一个串 (t) ，如果选出的前 (k) 个串都是 (t) 的后缀，而第 (k+1) 个串是第 (k) 个串的前缀，那么我们可以把前 (k) 个串都删掉最后一个字符，第 (k+1) 个串直接扔掉，这样就构造出了一个选 (j-1) 个串的方案，特殊情况 (k=j) 时把所有串都删掉最后一个字符并把最后一个串（长度已经变成 (0)）扔掉

• 于是可以重新定义 (f[i]) 表示以 (i) 为开头最多选出多少个串

• 根据上面的结论，可以二分 (f[i])，转化成判断是否存在 (jin[i+f[i]dots n]) 使得 (max( ext{lcp}(i,j), ext{lcp}(i+1,j))ge f[i]-1) 且 (f[j]ge f[i]-1)

• 易得建出 SA 之后，满足 ( ext{lcp}(i,j)ge f[i]-1) 的 (rank_j) 是一段区间，可以二分 + RMQ 求出这个区间之后，利用可持久化线段树求得该区间内的 (f[j]) 最大值，( ext{lcp}(i+1,j)) 同理

• 这样的复杂度是 (O(nlog^2n)) 的

• 注意到另一个性质：(f[i+1]ge f[i]-1)，证明类似上一个结论

• 于是把 (f[i]) 设成 (f[i+1]+1) 之后不断检查当前的 (f[i]) 是否合法，如果不合法就一直 (f[i]--)

• 易得 (f[i]--) 的次数之和不超过 (O(n))，所以总复杂度 (O(nlog n))

• 现场 (O(nlog^2n)) 甚至 (O(nsqrt n)) 小常数过了，声名狼藉 QAQ

Code

• 咕咕咕