剑指offer_07:斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：1

示例 2：
输入：n = 5
输出：5

提示：
0 <= n <= 100

1、原始递归，超时

我在网上还看到一种递归解法，就是每次递归的时候额外带一个辅助空间，递归时算出来的数存到辅助空间里，下一次递归时还能用到，这种递归其实也算是一种动态规划思想。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
        return (fib(n-1)+fib(n-2))%1000000007;
    }
}

2、动态规划

哪些问题适用动态规划：

1. 有重叠子问题
2. 具有最优子结构
3. 无后效性：这个状态之后的过程不会影响到这个已经用完的状态

动态规划解题步骤：

1. 拆解问题并找到子问题之间联系
2. 定义初始状态
3. 确定状态转移方程
4. 确定边界条件并实现

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=(dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
}

3、动态规划优化

优化动态规划一般是优化空间，依据公式dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，可知要计算的数只与前两个数相关，所以可以不使用数组，使用三个变量就行。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        int first=0;
        int second=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int sum=(first+second)%1000000007;
            first=second;
            second=sum;
        }
        return second;
    }
}