• codeforces1209E2 状压dp,枚举子集


    题意

    给一个n行m列的矩阵,每一列可以循环移位,问经过任意次移位后每一行的最大值总和最大为多少。

    分析

    每一行的最大值之和最大,可以理解为每一行任意选择一个数使它们的和最大。

    (dp[i][S])为前i列,已经确定值的行集合为S时,和的最大值。答案为(dp[m][(1<<n)-1]),

    (f[i][S])为第i列循环位移任意次后选择元素所在行构成的集合为S的最大值,可以预处理出。

    枚举第i+1列循环位移的次数和第i+1列选择哪些元素(枚举子集)计入答案来转移。

    转移方程为(dp[i][S]=max(dp[i-1][S']+f[i][S-S'],dp[i][S]),S'为S的子集)

    复杂度为(O(T*m*(2^n*n^2+3^n))),显然过不了,实际上我们只需要考虑每列最大值最大的前n列,因为选择其他列不如替换成这n列中还没用的列。这样复杂度就能降到(O(T*n*(2^n*n^2+3^n)))

    Code

    #include<bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    #define pb push_back
    #define lson l,mid,p<<1
    #define rson mid+1,r,p<<1|1
    #define ll long long
    using namespace std;
    const int inf=1e9;
    const int mod=1e9+7;
    const int maxn=1e5+10;
    int t,n,m,a[15][2010],dp[15][1<<13],r[2010],b[2010],f[15][1<<13];
    int cmp(int x,int y){
    	return r[x]>r[y];
    }
    int main(){
    	//ios::sync_with_stdio(false);
    	//freopen("in","r",stdin);
    	scanf("%d",&t);
    	while(t--){
    		scanf("%d%d",&n,&m);
            for(int i=0;i<m;i++) r[i]=0,b[i]=i;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			for(int j=0;j<m;j++){
    				scanf("%d",&a[i][j]);
    				r[j]=max(r[j],a[i][j]);
    			}
    		}
    		sort(b,b+m,cmp);
    		m=min(n,m);
    		for(int i=0;i<m;++i){
    			for(int j=0;j<(1<<n);++j){
    			    int u=0;
    				for(int k=0;k<n;++k){
                        int ret=0;
    					for(int l=0;l<n;++l) if((j>>l)&1) ret+=a[(l+k)%n][b[i]];
    					u=max(u,ret);
    				}
    				f[i][j]=dp[i][j]=u;
    				if(i==0) continue;
    				for(int k=j;k;k=(k-1)&j) dp[i][j]=max(dp[i-1][k]+f[i][j-k],dp[i][j]);
    			}
    		}
    		printf("%d
    ",dp[m-1][(1<<n)-1]);
    	}
    	return 0;
    }
    
    
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