回溯法——批处理作业调度

问题描述：

　　给定n个作业的集合J=（J1，J2，... ，Jn）。每一个作业Ji都有两项任务分别在2台机器上完成。每个作业必须先有机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理时间。则所有作业在机器2上完成处理时间和f=F2i，称为该作业调度的完成时间和。

简单描述：

　　对于给定的n个作业，指定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

举例说明：

tji	机器1	机器2
作业1	2	1
作业2	3	1
作业3	2	3

　　

　　这3个作业的调度方案共有6种（即3个作业的全排列），分别是123,132,213,231,312,321，它们所相应的完成时间和分别是19,18,20,21,19,19。显而易见，最佳调度方案是132，其完成时间和为18。

算法设计：

　　从n个作业中找出有最小完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时x=[1,2, ... , n]是所给的n个作业，则相应的排列树由x[1:n]的所有排列构成。

　　类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，以便减少传给Backtrack的参数。二维数组M是输入作业的处理时间，bestf记录当前最小完成时间和，bestx记录相应的当前最佳作业调度。

　　在递归函数Backtrack中，

　　　　当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的作业调度方案。此时算法适时更新当前最优值和相应的当前最佳调度。

　　　　当i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的作业，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

算法描述：

注：1、区分作业i和当前第i个正在执行的作业

　　　　　　给x赋初值，即其中一种排列，如x=[1,3,2]；M[x[j]][i]代表当前作业调度x排列中的第j个作业在第i台机器上的处理时间；如M[x[2]][1]就意味着作业3在机器1上的处理时间。

　　2、bestf的初值

　　　　　　此问题是得到最佳作业调度方案以便使其完成时间和达到最小，所以当前最优值bestf应该赋值为较大的一个值。

　　3、f1、f2的定义与计算

　　　　　　假定当前作业调度排列为：x=[1,2,3]；f1[i]即第i个作业在机器1上的处理时间，f2[j]即第j个作业在机器2上的处理时间；则：

　　　　　　f1[1]=M[1][1] , f2[1]=f1[1]+M[1][2]

　　　　　　f1[2]=f1[1]+M[2][1] , f2[2]=MAX(f2[1],f1[2])+M[2][2]　//f2[2]不光要等作业2自己在机器1上的处理时间，还要等作业1在机器2上的处理时间，选其大者。

　　　　　　f1[3]=f1[2]+M[3][1] , f2[3]=MAX(f2[2],f1[3])+M[3][2]

　　　　f1只有当前值有用，可以覆盖赋值，所以定义为int型变量即可，减少空间消耗；f2需要记录每个作业的处理时间，所以定义为int *型，以便计算得完成时间和。

　　4、f2[0]的初值

　　　　　　f2[i]的计算都是基于上一个作业f2[i-1]进行的，所以要记得给f2平[0]赋值为0。

class Flowshop
{
    friend Flow(int * *,int,int[]);
private:
    void Backtrack(int i);
    int * * M,　　　　　　//各作业所需的处理时间，根据上面的例子就是4*3的矩阵————M[j][i]代表第j个作业在第i台机器上的处理时间
        * x,　　　　　　　//当前作业调度————其中一种排列顺序
        * bestx,　　　　 //当前最优作业调度
        * f2,　　　　　　 //机器2完成处理时间————记录每个作业在机器2上的完成时间
        f1,　　　　　　　　//机器1完成处理时间————定义int型，减少空间消耗（因为只有当前的f1有用，所以可以覆盖赋值）
        f,　　　　　　　　//完成时间和
        bestf,　　　　　　//当前最优值
        n;　　　　　　　　//作业树
};
void Flowshop::Backtrack(int i)
{
    if(i>n)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
            bestx[j] = x[j];
        bestf = f;
    }
    else
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)　　//排列树中j从i开始————控制分支数
        {
            f1+=M[x[j]][i];　　//在第1台机器上的完成处理时间————着重关注M矩阵的行标（代表当前执行的作业，是动态变化的）
            f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];　　//在机器2上的完成处理时间，f2[0]初值赋为0
            f+=f2[i];　　　　//总的完成时间和
            if(f<bestf)　　//剪枝函数
            {
                Swap(x[i],x[j]);
                Backtrack(i+1);
                Swap(x[i],x[j]);
            }
            f1 -= M[x[j]][1];　　//改变机器完成时间计数————递归返回时
            f -= f2[i];
        }
    }
}
int Flow(int * * M,int n,int bestx[])
{
    int ub = INT_AMX;
    Flowshop X;
    X.x = new int [n+1];
    X.f2 = new int [n+1];
    X.M = M;
    X.n = n;
    X.bestf = ub;
    X.bestx = bestx;
    X.f1 = 0;
    X.f = 0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        X.f2[i] = 0;
        X.x[i] i;
    }
    X.Backtrack(1);
    delete [] X x;
    delete [] X f2;
    return X.bestf;
}

具体实现 示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 200
int* x1;//作业Ji在机器1上的工作时间；
int* x2;//作业Ji在机器2上的工作时间；

int number=0;//作业的数目；

int* xOrder;//作业顺序；
int* bestOrder;//最优的作业顺序；

int bestValue=MAX;//最优的时间；
int xValue=0;//当前完成用的时间；
int f1=0;//机器1完成的处理时间；
int* f2;//第i阶段机器2完成的时间；


void BackTrace(int k)
{
     if (k>number)
     {
          for (int i=1;i<=number;i++)
          {
             bestOrder[i]=xOrder[i];
          }
          bestValue=xValue;
     }
 else
 {
      for (int i=k;i<=number;i++)
      {
           f1+=x1[xOrder[i]];
           f2[k]=(f2[k-1]>f1?f2[k-1]:f1)+x2[xOrder[i]];
           xValue+=f2[k];
           swap(xOrder[i],xOrder[k]);
           if (xValue<bestValue)
           {
                BackTrace(k+1);
           }
           swap(xOrder[i],xOrder[k]);
           xValue-=f2[k];
           f1-=x1[xOrder[i]];
      }
  
 }
}
int main()
{
     cout<<"请输入作业数目：";
     cin>>number;
     x1=new int[number+1];
     x2=new int[number+1];
     xOrder=new int[number+1];
     bestOrder=new int[number+1];
     f2=new int[number+1];

     x1[0]=0;
     x2[0]=0;
     xOrder[0]=0;
     bestOrder[0]=0;
     f2[0]=0;

     cout<<"请输入每个作业在机器1上所用的时间："<<endl;
     for (int i=1;i<=number;i++)
     {
      cout<<"第"<<i<<"个作业=";
      cin>>x1[i];
     }

     cout<<"请输入每个作业在机器2上所用的时间："<<endl;
     for (i=1;i<=number;i++)
     {
      cout<<"第"<<i<<"个作业=";
      cin>>x2[i];
     }

     for (i=1;i<=number;i++)
     {
        xOrder[i]=i;
     }
     BackTrace(1);
     cout<<"最节省的时间为："<<bestValue;
     cout<<endl;
     cout<<"对应的方案为：";
     for (i=1;i<=number;i++)
     {
         cout<<bestOrder[i]<<"  ";
     }
     return 0;
}