LeetCode——x 的平方根/有效的完全平方数

Q：实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:
输入: 4
输出: 2
示例 2:
输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

A：
题目并不难，但不同的方法里面关于边界都有大大小小的坑。最好是自己写，才能知道坑在哪里……尤其注意最大值和0
1.二分法
算法：

如果 x < 2，返回 x。
令左边界为 2，右边界为 x / 2。
当 left <= right 时：
令 mid = (left + right) / 2，比较 mid * mid 与 x：
如果 mid * mid > x，更新右边界为 right = mid -1。
如果 mid * mid < x，更新左边界为 left = mid + 1。
如果 mid * mid == x，即整数平方根为 mid，返回 mid。
返回 right。

    public int mySqrt(int x) {
        if (x < 2)//特殊用例
            return x;
        long left = 2;//对待特殊用例，例如Integer.MAX_VALUE，使用long，解决求mid的问题
        long right = x / 2;
        while (left <= right) {
            long mid = (left + right) >>> 1;//无符号右移，相当于/2
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else if (square < x) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return (int) mid;
            }
        }
        return (int) right;
    }

Java 代码要注意到：如果中点 mid 声明为 int 类型，针对大整型测试用例通不过，因此变量需要声明为 long 类型

2.袖珍计算器
通常，袖珍计算器通过对数表或其他方式计算指数函数和自然对数。那么考虑将求平方根的运算转换为指数运算和对数运算：

[sqrt{x} = e^{frac{1}{2}logx} ]

代码：

    public int mySqrt(int x) {
        if (x < 2)
            return x;
        int curr = (int) Math.exp(0.5 * Math.log(x)) + 1;//注意判断条件应该是取值+1的平方和x对比
        return (long) curr * curr > x ? curr - 1 : curr;//curr的平方为方便特殊取值应该用long
    }

3.递归+位运算
本方法的思路是使用递归，每一步都减小 x，直到 x < 2。

[sqrt{x} = 2*sqrt{frac{x}{4}} ]

递归式可写成：

[mySqrt(x) = mySqrt(x>>2)<<1 ]

代码：

    public int mySqrt(int x) {
        if (x < 2)
            return x;
        int curr = (mySqrt(x >> 2) << 1) + 1;//因为符号先后的问题原因，记得加括号
        return (long) curr * curr > x ? curr - 1 : curr;
    }

4.牛顿法
牛顿法的思想：切线是曲线的线性逼近。

在迭代过程中，以直线代替曲线，用一阶泰勒展式（即在当前点的切线）代替原曲线，求直线与 x 轴的交点，重复这个过程直到收敛。

牛顿法的内容，建议看如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？
借鉴@liweiwei1419的推算：

代码：

    public int mySqrt(int x) {
        long n = x;
        while (n * n > x) {
            n = (n + x / n) / 2;
        }
        return (int) n;
    }

类似解决：有效的完全平方数

Q：给定一个正整数 num，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 True，否则返回 False。
说明：不要使用任何内置的库函数，如  sqrt。

示例 1：
输入：16
输出：True
示例 2：
输入：14
输出：False

A：
借鉴算平方根的代码。

1.二分法

    public boolean isPerfectSquare(int x) {
        if (x < 2)//特殊用例
            return true;
        long left = 2;//对待特殊用例，例如Integer.MAX_VALUE，使用long，解决求mid的问题
        long right = x / 2;
        while (left <= right) {
            long mid = (left + right) >>> 1;//无符号右移，相当于/2
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else if (square < x) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return true;
            }
        }
        return right * right == x;
    }

2.牛顿法

    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        long x = num;
        while(x * x > num){
            x = (x + num / x) / 2;
        }
        return x * x == num;
    }