[NOI.AC 2018NOIP模拟赛 第三场 ] 染色 解题报告 （DP）

题目链接：http://noi.ac/contest/12/problem/37

题目:

小W收到了一张纸带，纸带上有 n个位置。现在他想把这个纸带染色，他一共有 m 种颜色，每个位置都可以染任意颜色，但是他发现如果某连续 m 个位置被染成了 m 种不同的颜色，那么就不美观，于是他决定让任意的相邻 m 个位置的颜色至少有两个位置相同。他想知道他一共有多少种染色的方案。

输入格式

第一行三个整数 n，m，p。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案对 p 取模的结果。

题解：

我们考虑DP，设序列为{a}

dp[i][j]为考虑前i个位置，[i-j+1,i]中的颜色互不相同，并且a_i-j与这段区间中的某一个位置颜色相同

我们枚举第i+1个位置和[i-j+1,i]中的哪一个颜色相同或者全部不同，进行转移

dp[i+1][j+1]=dp[i][j]*(m-j)

dp[i+1][k]+=dp[i][j](1<=k<=j)

这样的话时间复杂度是O(N^3)的

发现第二个转移可以前缀和优化一下，显然dp[i+1][k]可以从dp[i][k~(m-1)]转移而来

时间复杂度O(N^2)

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
typedef long long ll;
using std::min;
const int N=5000+15;
int n,m;
ll p;
ll dp[N][N],sum[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    dp[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=min(i,m-1);j++)
        {
            (dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(m-(j-1))%p)%=p;
            (dp[i][j]+=sum[i-1][j])%=p;
        } 
        for (int j=m-1;j>=1;j--)
        {
            sum[i][j]=(sum[i][j+1]+dp[i][j])%p;
        }
    } 
    ll ans=0;
    for (int i=1;i<m;i++) (ans+=dp[n][i])%=p;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}