SVM学习笔记-线性支撑向量机

最大间隔超平面

线性分类器回顾

当数据是线性可分的时候，PLA算法可以帮助我们找到能够正确划分数据的超平面hyperplane，如图所示的那条线。

哪一条线是最好的？

• 对于PLA算法来说，最终得到哪一条线是不一定的，取决于算法scan数据的过程。
• 从VC bound的角度来说，上述三条线的复杂度是一样的 
  
  Eout(w)≤Ein����0+Ω(H)������dvc=d+1

直观来看，最右边的线是比较好的hyperplane。

为什么最右边的分隔面最好？

对于测量误差的容忍度是最好的。例如对于每张图片中左下角的样本点，当未来要判定与该点非常接近的点（有可能它们的feature本来就是一样的，只不过因为测量的误差的存在，所以feature变得有点不同了）的label的时候，最右边的hyperplane对这些误差会有最大的容忍度。

tolerate more noise ⟶ more robust to overfitting 
当对测量误差有更大的容忍度的时候，就能更加避免过拟合的情况出现。 
所以我们想要找的超平面就是能够更大的容忍测量误差的超平面。直观上来说，就是找这样的一个超平面，离这个超平面最近的点的到这个超平面的距离也是很大的。

“胖”分割面

如下图所以，我们想要找的是“最胖”的那条线。

最大间隔分类超平面

maxwsubject to fatness(w)w classifies every (xn,yn) correctlyfatness(w)=minn−1,⋯,N distance(xn,w)

即我们要找一条线w，首先这条线要正确的划分每一个实例(w classifies every (xn,yn) correctly)。其次这条线要是最”胖”的(maxw fatness(w))。线w的”胖”的衡量方法是:到所有的点中距离最近的点的长度作为该w的fatness(胖瘦程度)。一句话:找能正确划分数据的最胖的线。

• fatness: 正式的表达为margin
• correctness: 要求yn=sign(wTxn)

上述的表达可以进一步数学化为： 

maxwsubject to     margin(w)  every   ynwTxn>0margin(w)=minn−1,⋯,N distance(xn,w)

goal: 找最大间隔（margin）的分类超平面

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最大间隔问题

点到超平面的距离

上面提到了我们要找最“胖”的线，这里涉及到了一个距离的计算。那么怎么算一个点x到平面wTx+b=0的距离。

考虑在平面上的两个点x′,x′′, 那么有 

wTx′=−b,   wTx′′=−b

两式相减： 

wT(x′′−x′)����������vector on hyperplane=0

所以可以得到w是该平面的法向量。（x′′−x′是该平面的任意向量，w和该平面的任意向量垂直）。

那么x到平面的距离公式如下（投影）： 

distance(x,b,w)=|wT||w||(x−x′)|=1||w|||wTx+b|

其中，b,w代表平面。距离即是求x−x′在w上投影的长度。第二步化简用到wTx′=−b。

到分隔超平面的距离

上一节中推导了点到平面的距离计算方法， 

distance(x,b,w)=1||w|||wTx+b|

对于我们最终想要得到的分隔超平面，我们可以得到如下的结果： 

yn(wTxn+b)>0

那么任意一个点到分隔超平面的距离可以变为： 

distance(xn,b,w)=1||w||yn(wTxn+b)

即我们想要做的事情变为： 

maxw.bsubject to    margin(w,b)  every   yn(wTxn+b)>0margin(w,b)=minn=1,⋯,N  1||w||yn(wTxn+b)

我们最终想要找的是一个hyperplane，也就是wTx+b=0(我们现在在选择它的系数w和b)。情况是这样的： wTx+b=0和3wTx+3b=0是没有什么差别的，只是进行了系数的放缩，其实是一个超平面，在二维就表示一条直线。那么在这里我们考虑一个很特别的放缩使得： 

minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1

这样的放缩总是可以做到的。这样的话： 

margin(w,b)=1||w||

原来的问题变为： 

maxw.bsubject to    1||w||  every   yn(wTxn+b)>0minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1

进一步可以变为：

maxw.bs.t.   1||w||    minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1

条件minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1包括every   yn(wTxn+b)>0， 所以后者可以去掉。

最大间隔问题

我们进一步得到了描述比较简单的间隔最大化问题的需求。 

maxw.bs.t.   1||w||    minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1

现在的目标是要把条件中的min操作去掉。我们将条件minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1放宽至：for all n都有yn(wTxn+b)≥1。现在我们担心的问题是：原来的条件要求最小的yn(wTxn+b)等于1， 而现在要求所有的yn(wTxn+b)大于等于1。那么在新的条件下会不会正好存在这样的w使得所有的yn(wTxn+b)都大于1了，这样我们放宽条件就出了问题，因为求得的解不在满足原来的条件了。 
以下将证明，即使放宽了条件，最佳解依然满足minn=1,⋯,N  yn(wTxn+b)=1 
反证法： 
如果最佳解(w,b)使得所有的yn(wTxn+b)都是大于1的， 例如yn(wTxn+b)≥1.126， 那么我们进行一下缩放可知(w1.126,b1.126)也是放松后问题的解。但是此时w1.126显然比w会有更大的1||w||。 所以假设：最佳解(w,b)使得所有的yn(wTxn+b)都是大于1， 是错误的。板面的做法和配料

现在问题的形式变为： 

maxw.bs.t.   1||w||      yn(wTxn+b)≥1 for all n

变为最小为问题： 

minw.bs.t.   12wTw      yn(wTxn+b)≥1 for all n

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支撑向量机

minw.bs.t.   12wTw      yn(wTxn+b)≥1 for all n

一个特例

图中的样本点feature和label信息如下： 

X=⎡⎣⎢⎢⎢02230200⎤⎦⎥⎥⎥,Y=⎡⎣⎢⎢⎢−1−1+1+1⎤⎦⎥⎥⎥

根据最优化问题的要求我们需要满足一下4个条件： 

−2w1−2w22w13w1−b≥1−b≥1+b≥1+b≥1(i)(ii)(iii)(iv)

• (i) and (iii)⟹w1≥+1
• (ii) and (iii)⟹w2≤−1 
  根据以上的两个式子可以得到： 
  12wTw≥1 
  所以我们可以令w1=1,w2=−1,b=−1。这样的话不仅仅满足了条件(i)∽(iv)，也使得target function取得了最小的值1。其中b的值可以通过计算一个范围得到。这样我们就得到了我们最想要的hyperplane：gsvm:x1−x2−b=1。这就是我们想要找的支撑向量机。 
  此时margin=1||w||=12√。 
  

我们可以看到有一些离hyperplane很近的点，也就是如图用方框框起来的那些点。这些点就可以确定我们想要的hyperplane，我们把这些点叫做Support Vector。可以理解为这些支撑向量就可以确定我们想要的分割超平面，而不需要其他的点。

SVM的一般解法

minw.bs.t.   12wTw      yn(wTxn+b)≥1 for all n

通过分析可知，我们想要最小化的问题是个w的二次函数，该问题的条件是w的线性一次式。我们把这样的问题叫做二次规划（Quadratic programming） 
所以我们的一个解法是将我们的问题表示为二次规划的标准形式，然后就可以调用二次规划的包进行运算。

标准的二次规划问题

optimalu⟵minusubject toQP(Q,p,A,c)12uTQu+pTuaTm≥cmfor m=1,2,⋯,M

所以我们要确定其中的系数Q,p,A,c 

u=[bw];Q=[00d0TdId];p=0d+1aTN=yn[1xTn];cn=1;M=N

线性可分的硬间隔SVM算法

使用二次规划解决SVM

1. 表示为规范的QP问题，Q,p,A,c
2. w,b⟵QP(Q,p,A,c)
3. return w,b as gsvm

note：

1. hard-margin：表明我们坚持要将正例和负例完全的分开。
2. linear：表明我们是在使用x来训练SVM，我们得到的是在X空间中的分割超平面。而没有经过任何的特转换
3. 所以如果我们想要一个非线性的hyperplane，可以使用z=Φ(x)