行列式
n阶行列式的计算：
其中t为排列(p_1p_2p_3 cdots p_n)的逆序数，由于这样的排列共有(n!)个，所以n阶行列式共有(n!)项。
行列式的性质：
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行列式与他的转置行列式相等
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对换行列式的两行/列，行列式变号
可推出：如果行列式有两行/列完全相等，则行列式等于0
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行列式的某一行/列中多有元素乘以k，等于k乘以此行列式
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行列式中如果有两行/列元素成比例，则此行列式等于0
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把行列式的某一行/列元素同乘以某数k，再加到另一行/列对应元素上，行列式不变
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如下：
[若D=left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \vdots & vdots & & vdots \a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & cdots & a_{in}+a_{in}^, \vdots & vdots & & vdots \a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}end{matrix} ight| ]
行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。
矩阵的运算
矩阵的一般运算
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矩阵加法：两同型矩阵对应元素相加。
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数与矩阵相乘：等于该矩阵所有元素同乘该数。
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矩阵与矩阵相乘：如(AB)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。
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矩阵的转置：
[(A^T)^T=A\ (A+B)^T=A^T+B^T\ (lambda A)^T=lambda A^T\ (AB)^T=B^TA^T ] -
方阵的行列式：
伴随矩阵：
其中(A_{ij})为(|A|)的代数余子式
逆矩阵
定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得(AB=BA=E)，那么称A可逆，B为A的逆矩阵。
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若A可逆，则(|A| eq 0)
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若(|A| eq 0)，则:
[A^{-1}=frac{A^*}{|A|} ]
当(|A|=0)时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知：
A是可逆矩阵的充分必要条件是(|A| eq 0)，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
逆矩阵满足下述运算规律：
逆矩阵的初步运用
设(varphi (A)=a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m)为矩阵A的m次多项式。
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如果(A=PLambda P^{-1})，则(A^k = PLambda^kP^{-1})，从而：
[egin{align} varphi(A) & = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m \ & = Pa_0EP^{-1} + Pa_1Lambda P^{-1} + cdots + Pa_mLambda^m P^{-1} \ & = P(a_0E + a_1Lambda + cdots + a_mLambda^m)P^{-1} \ & = P varphi(Lambda)P^{-1} end{align} ] -
如果(Lambda = diag(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n))为对角矩阵，则(Lambda^k = diag(lambda_1^k,lambda_2^k,cdots,lambda_n^k))，从而：
[egin{align}varphi(Lambda)& = a_0E + a_1A + cdots + a_mA^m\& = left[egin{matrix} varphi(lambda_1) \ &varphi(lambda_2)\ &&ddots\ &&&varphi(lambda_n)end{matrix} ight]end{align} ]
克拉默法则
- 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零，则方程组有唯一解：[x_n = frac{|A_n|}{|A|} ]
分块矩阵
- 转置：
- 分块对角矩阵：(A_i)是方阵，则如下A分块矩阵为分块对角矩阵
分块对角矩阵有如下性质：
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
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如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价。
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如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价。
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如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。
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由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。
行阶梯形矩阵：非零行在零行上面，非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵：非零行的首非零元为1，首非零元所在的列的其余元均为0。
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵(P_1P_2cdots P_l)使得(A=P_1P_2cdots P_l)。
可推出：方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。
矩阵的秩
K阶子式与秩：在m行n列的矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变相对位置而得到的K阶行列式，称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式，那么r就为A的秩 ，记作R(A)=r 。
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如果A行等价B，则A与B中非零子式的最高阶数相等。
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(R(A)=R(A^T))。
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可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵。
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初等变换作为一种运算，其深刻意义在于不改变矩阵的秩。
性质（不完全）：
- (R(A+B) leq R(A)+R(B))
- (R(AB) leq min{R(A), R(B)})
- 若(A_{m,n}B_{n,l}=O)，则(R(A) + R(B) leq n)
- 若(AB=O)且A为满秩矩阵，则(B=O)。
线性方程组的解
n元线性方程组(Ax=b) 。
- 无解充要条件是(R(A)<R(A,b))。
- 唯一解充要条件(R(A)=R(A,b)=n)。
- 无穷解充要条件(R(A)=R(A,b)<n)
- (Ax=0)有非零解的充要条件是(R(A)<n)。
- 矩阵方程(AX=B)有解的充要条件是(R(A)=R(A,B))。
- 设(AB=C)，则(R(C)leq min{R(A), R(B)})