十八、最小生成树（克鲁斯卡尔算法）

最小生成树

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。 
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

第1步：将边<E,F>加入R中。 
    边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第2步：将边<C,D>加入R中。 
    上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第3步：将边<D,E>加入R中。 
    上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第4步：将边<B,F>加入R中。 
    上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。 
第5步：将边<E,G>加入R中。 
    上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第6步：将边<A,B>加入R中。 
    上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。 
(02) D的终点是F。 
(03) E的终点是F。 
(04) F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

邻接矩阵：

import java.util.ArrayList;
class Vertex
{
    public char label;
    public int index;//在顶点数组中的下标索引
    public Vertex(char label,int index)
    {
        this.label = label;
        this.index = index;
    }
}

class Edge
{
    public Vertex start;
    public Vertex end;
    public int weight;
    public Edge(Vertex start, Vertex end, int weight) 
    {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
}

class UDGraph
{
    private final int MAX_VERTS = 20;
    private Vertex vertexList[];
    private int adjMat[][];
    private int nVerts;
    
    public UDGraph()
    {
        vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];
        adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];
        nVerts = 0;
        for(int i=0;i<MAX_VERTS;i++)
            for(int j=0;j<MAX_VERTS;j++)
                adjMat[i][j] = 0;
    }
    
    public void addVertex(char lab)
    {
        vertexList[nVerts] = new Vertex(lab,nVerts);
        nVerts++;
    }
    
    public void addEdge(int start,int end,int weight)
    {
        adjMat[start][end] = weight;
        adjMat[end][start] = weight;
    }
    
    public void kruskal()
    {
        Edge[] edge = new Edge[MAX_VERTS*MAX_VERTS];
        int nEdges=0;
         // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
        int[] end_point = new int[nVerts];
          // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
         ArrayList<Edge> resultList =  new ArrayList<Edge>();    
        
        for(int row=0;row<nVerts;row++)//上三角
            for(int col=row;col<nVerts;col++)
                if(adjMat[row][col]>0)
                {
                    edge[nEdges] = new Edge(vertexList[row],vertexList[col],adjMat[row][col]);
                    nEdges++;
                }
        
        //对边数组排序
        for(int out=nEdges-1;out>0;out--)
            for(int in=0;in<out;in++)
                if(edge[in].weight>edge[in+1].weight)
                {
                    Edge temp = edge[in];
                    edge[in] = edge[in+1];
                    edge[in+1] = temp;
                }    
        
        for(int i=0;i<nEdges;i++)
        {
            int m = getEndPoint(end_point, edge[i].start.index);
            int n = getEndPoint(end_point, edge[i].end.index);
            System.out.println(" "+edge[i].start.label+edge[i].end.label+"m="+m+"    n="+n);
　　　　　　　//想象成两棵树的根不同，把一棵树的根连接到另一个树的根
            if(m!=n)
            {
                end_point[m] = n;
                resultList.add(edge[i]);
            }
        }
        //打印显示
        for(int i=0;i<resultList.size();i++)
            System.out.println(resultList.get(i).start.label+"---"+resultList.get(i).weight+"---"+resultList.get(i).end.label);
    }
    
    //终点想象成树的根
    public int getEndPoint(int[] end_point, int i)
    {
        while(end_point[i] != 0)
            i = end_point[i];
        return i;
    }
}

public class MatrixUDG_Kruskal 
{
    public static void main(String[] args) 
    {
          UDGraph theGraph = new UDGraph();
          theGraph.addVertex('A');    // 0  (start for mst)
          theGraph.addVertex('B');    // 1
          theGraph.addVertex('C');    // 2
          theGraph.addVertex('D');    // 3
          theGraph.addVertex('E');    // 4
          theGraph.addVertex('F');    // 5

          theGraph.addEdge(0, 1,1);     // AB
          theGraph.addEdge(0, 2,4);     // AC
          theGraph.addEdge(0, 5, 6);    // AF
          theGraph.addEdge(1, 3,8);     // BD
          theGraph.addEdge(1, 4,3);     // BE
          theGraph.addEdge(2, 4,9);     // CE
          theGraph.addEdge(2, 5,5);     // CF
          theGraph.addEdge(3, 4,7);     // DE
          theGraph.addEdge(3, 5,10);    // DF
          theGraph.addEdge(4, 5,2);     // EF

          theGraph.kruskal();
    }
}

邻接链表：

import java.util.ArrayList;
class Vertex
{
    public char label;
    public int index;//在顶点数组中的下标索引
    public Edge firstEdge;
    public Vertex(char label,int index)
    {
        this.label = label;
        this.index = index;
        firstEdge = null;
    }
}

class Edge
{
    public int sour;
    public int dest;//边指向的顶点在数组列表中的位置
    public Edge nextEdge;//指向的下一条边
    public int weight;//权重
    public Edge(int sour,int dest,int weight)
    {
        this.sour = sour;
        this.dest= dest;
        this.weight = weight;
        nextEdge = null;
    }
}

class UDGraph
{
    private final int MAX_VERTS = 20;
    private Vertex vertexList[];
    private int nVerts;
    
    public UDGraph()
    {
        vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];
        nVerts = 0;
    }
    
    public void addVertex(char lab)
    {
        vertexList[nVerts] = new Vertex(lab,nVerts);
        nVerts++;
    }
    
    public void addEdge(int start,int end,int weight)
    {
        Edge s_T_eEdge = new Edge(start,end,weight);
        Edge e_T_sEdge = new Edge(end,start,weight);
        Edge edge2 = vertexList[start].firstEdge;
        if(edge2==null)
        {
            vertexList[start].firstEdge = s_T_eEdge;
        }else
         {
            while(edge2.nextEdge!=null)
                edge2 = edge2.nextEdge;
            edge2.nextEdge = s_T_eEdge;
        }
        Edge edge3 = vertexList[end].firstEdge;
        if(edge3==null)
        {
            vertexList[end].firstEdge = e_T_sEdge;
        }else
         {
            while(edge3.nextEdge!=null)
                edge3 = edge3.nextEdge;
            edge3.nextEdge = e_T_sEdge;
        }
    }
    
    public void kruskal()
    {
        Edge[] edge = new Edge[MAX_VERTS*MAX_VERTS];
        int nEdges=0;
         // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
        int[] end_point = new int[nVerts];
          // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
         ArrayList<Edge> resultList =  new ArrayList<Edge>(); 
        
        //把所有的边放入Edge[] edge中
        for(int i=0;i<nVerts;i++){
            Edge currentEdge = vertexList[i].firstEdge;
            while(currentEdge!= null )
            {
                //vertexList[i].index<currentEdge.dest，使所有的边起点小于重点，
                //保证放入的边不重复，如果没有设置，则放入两倍的边
                if( vertexList[i].index<currentEdge.dest)
                {
                    edge[nEdges++] = currentEdge;
                }
                currentEdge = currentEdge.nextEdge;
            }
        }
        
        //对边数组排序
        for(int out=nEdges-1;out>0;out--)
            for(int in=0;in<out;in++)
                if(edge[in].weight>edge[in+1].weight)
                {
                    Edge temp = edge[in];
                    edge[in] = edge[in+1];
                    edge[in+1] = temp;
                }    
        
        for(int i=0;i<nEdges;i++)
        {
            int m = getEndPoint(end_point, edge[i].sour);
            int n = getEndPoint(end_point, edge[i].dest);
            if(m!=n){
                end_point[m] = n;
                resultList.add(edge[i]);
            }
        }
        //打印显示
        for(int i=0;i<resultList.size();i++)
            System.out.println(vertexList[resultList.get(i).sour].label+"-------"+resultList.get(i).weight+"-------"+vertexList[resultList.get(i).dest].label);
    }
    
    public int getEndPoint(int[] end_point, int i)
    {
        while(end_point[i] != 0)
            i = end_point[i];
        return i;
    }
}

public class ListUDG_Kruskal 
{
    public static void main(String[] args)
    {
          UDGraph theGraph = new UDGraph();
          theGraph.addVertex('A');// 0  (start for mst)
          theGraph.addVertex('B');// 1
          theGraph.addVertex('C');// 2
          theGraph.addVertex('D');// 3
          theGraph.addVertex('E');// 4
          theGraph.addVertex('F');// 5

          theGraph.addEdge(0, 1,1);//AB
          theGraph.addEdge(0, 2,4);//AC
          theGraph.addEdge(0, 5,6);//AF
          theGraph.addEdge(1, 3,8);//BD
          theGraph.addEdge(1, 4,3);//BE
          theGraph.addEdge(2, 4,9);//CE
          theGraph.addEdge(2, 5,5);//CF
          theGraph.addEdge(3, 4,7);//DE
          theGraph.addEdge(3, 5,10);//DF
          theGraph.addEdge(4, 5,2);//EF

          theGraph.kruskal();
    }
}